Kurs:Analysis/Teil I/55/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 2 1 3 4 5 6 4 5 5 10 4 4 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Potenzmenge zu einer Menge .
  2. Eine rationale Zahl.
  3. Die bestimmte Divergenz gegen einer Folge in einem angeordneten Körper .
  4. Der Körper der reellen Zahlen.
  5. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

    auf einer Teilmenge .

  6. Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.


Lösung

  1. Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von .
  2. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

    wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.

  3. Die Folge heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein gibt mit
  4. Einen archimedisch angeordneten vollständigen Körper nennt man Körper der reellen Zahlen.
  5. Die Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
  6. Eine Differentialgleichung der Form

    mit einer Funktion ( reelles Intervall)

    heißt homogene lineare Differentialgleichung.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  2. Die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen

    in einem Punkt

    .
  3. Die Jensensche Ungleichung.


Lösung

  1. Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Dann besteht der Durchschnitt
    aus genau einem Punkt .
  2. Die Funktionen seien in differenzierbar mit . Dann ist differenzierbar in mit
  3. Es sei eine konvexe Funktion, seien und mit . Dann ist


Aufgabe (3 Punkte)

Heidi Gonzales macht Karate und isst gerne Schokolade. Um eine Schokolade schneller in ihre Teilstücke zerlegen zu können, hat sie einen speziellen Karateschlag entwickelt, mit dem sie beliebig viele Schokoladenstücke gleichzeitig längs einer Rille zerteilen kann, die Stücke müssen dabei nur derart übereinander liegen, dass die Rillen übereinander liegen. Heide hat nun eine Schokolade mit Teilstücken. Mit wie vielen Karateschlägen kann sie minimal die Schokolade vollständig zerlegen?


Lösung

Sie kann es mit fünf Karateschlägen schaffen. Mit dem ersten Schlag macht sie zwei -Schokoladen, legt diese übereinander und macht daraus vier -Schokoladen. Dann legt sie diese übereinander, haut in der Mitte durch und macht daraus acht -Schokoladen. Dann legt sie diese acht Stück übereinander und haut das linke Drittel ab, wobei acht -Stücke und acht -Stücke entstehen. Zuletzt halbiert sie noch diese acht Stücke mit einem Schlag.

Mit vier Karateschlägen kann sie es nicht schaffen. Da mit jedem Schlag aus jeder Teilschokolade höchstens zwei Teilschokoladen entstehen, kann es nach vier Schlägen höchstens Stücke geben, aber keine .


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls surjektiv ist.


Lösung

Sei gegeben. Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein mit

Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein mit

Insgesamt ist

es gibt also ein Urbild von und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne


Lösung

Das Ergebnis ist , da der Exponent gerade ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Karl trinkt eine Flasche Bier ( Liter) mit einem Alkoholgehalt von Prozent. Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?


Lösung

In der Flasche befindet sich

Alkohol. Somit gehen

in sein Blut. Der Anteil ist daher

Das sind Prozent bzw. Promille.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper beschränkt ist.


Lösung

Es sei die konvergente Folge mit dem Limes und es sei ein gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein derart, dass

Dann ist insbesondere

Unterhalb von gibt es nur endlich viele Zahlen, so dass das Maximum

wohldefiniert ist. Daher ist eine obere Schranke und eine untere Schranke für .


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper mit für alle . Es sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.


Lösung

Es sei vorgegeben. Zu gibt es wegen der Nullkonvergenz von ein derart, dass

für alle ist. Für diese zeigen wir

durch eine Fallunterscheidung. Wenn

ist, so ist wegen der Positivität direkt . Es sei also umgekehrt oder . Dann ist jedenfalls und somit . Damit ist unter Verwendung der dritten binomischen Formel


Aufgabe (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

  1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von .
  2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von .
  3. Bestimme eine Zerlegung von in Linearfaktoren.


Lösung

  1. Es ist

    somit ist eine Nullstelle von .

  2. Mit einer Division mit Rest ergibt sich

    Es geht also noch um die Nullstellen von . Diese sind

  3. Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.


Lösung

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle positive reelle Zahlen sind. Es ist

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge

derart, dass sämtliche nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.


Lösung

Wir betrachten für die Funktionenfolge

die durch

gegeben ist. Diese Funktionen sind nicht stetig, da der Limes für gegen stets ist. Wir behaupten, dass diese Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert, die als konstante Funktion stetig ist. Dazu sei vorgegeben. Es gibt dann ein mit . Für alle und alle gilt dann


Aufgabe (5 Punkte)

Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir betrachten die Funktion

auf . Wegen

ist dies positiv für und gleich für . Daher ist streng wachsend und es gilt

für und . Daher ist die Folge zu jedem Startwert fallend und konvergiert gegen einen Grenzwert, da alle Folgenglieder nichtnegativ sind. Es sei der Grenzwert, der wieder zu gehören muss. Wegen der rekursiven Beziehung

und der Stetigkeit des Sinus folgt

Nach den bisherigen Überlegungen muss sein. Die Folge konvergiert also bei jedem Startwert gegen .


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den großen Umordnungssatz.


Lösung

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Lemma 17.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Es sei vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge mit

für alle endlichen Teilmengen  mit . Es gibt eine endliche Teilmenge derart, dass

ist. Wir behaupten, dass dieses für die Familie  , , die Summationseigenschaft für erfüllt. Es sei dazu  mit endlich und . Da die Familien  , , summierbar mit den Summen sind, gibt es für jedes ein endliches mit

für alle endlichen  mit . Wir wählen nun für jedes ein solches so, dass zusätzlich gilt. Dann ist und daher . Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Funktion

die Extrema.


Lösung

Wir schreiben

Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist

Die Bedingung führt durch Multiplikation mit und Division durch (die beide nicht sind) auf

Daher muss

sein, woraus sich

also ergibt. Die zweite Ableitung ist

und somit positiv, also liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat, ist dieses Minimum das einzige Minimum und daher ein globales Minimum und es gibt keine Maxima.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von

für .


Lösung

Es handelt sich um eine rationale Funktion, bei der der Zählergrad größer als der Nennergrad ist. Daher führen wir zuerst die Division mit Rest durch, diese liefert

bzw.

Eine Stammfunktion des hinteren Summanden ist

daher ist insgesamt

eine Stammfunktion von .


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die Differentialgleichung

für . Zeige, dass man mit dem Ansatz

eine lineare Differentialgleichung für bekommt.


Lösung

Mit

ist

diese ist linear.