Kurs:Analysis/Teil I/Test 2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 4 3 7 3 4 5 4 4 4 4 6 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die absolute Konvergenz einer Reihe.
  2. Eine rationale Funktion über einem Körper .
  3. Ein Berührpunkt einer Menge .
  4. Die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

    auf einer Teilmenge .

  5. Der Konvergenzradius einer komplexen Potenzreihe
  6. Die Differenzierbarkeit in einem Punkt einer Abbildung .


Lösung

  1. Eine Reihe

    von komplexen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

    konvergiert.

  2. Zu zwei Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.

  3. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.
  4. Die Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
  5. Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
  6. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes

    existiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
  2. Der Zwischenwertsatz.
  3. Der Entwicklungssatz für Potenzreihen (die Koeffizienten der umentwickelten Potenzreihe müssen nicht angegeben werden).


Lösung

  1. Ein Element ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
  2. Es seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und . Dann gibt es ein mit .
  3. Es sei

    eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius und sei . Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

    mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen

    auf übereinstimmen.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Lösung

Für die Zahlen ist

Daher ist

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach [[Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Ist beschränkt/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] nicht konvergent sein.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

für jedes absolut konvergiert.


Lösung

Wir wenden das Quotientenkriterium an, woraus dann die absolute Konvergenz folgt. Dazu betrachten wir den Quotienten aus zwei aufeinander folgenden Gliedern der Reihe (bei ist die Aussage klar, sei also ), also

Zu einem gegebene gibt es ein mit

Dies gilt dann auch für alle , so dass man ab das Quotientenkriterium anwenden kann.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Es ist . Gibt es neben der weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen , die die Gleichung

erfüllen?


Lösung

Es gibt noch die ganzzahligen Lösungen

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ) und

(Summe und Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist ). Die Gleichung ist eine polynomiale Gleichung vom Grad , daher gibt es über einem beliebigen Körper keine weiteren Lösungen.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt .


Lösung

Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.

Es sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

ist. Dazu sei vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.
Es sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Lösung

Wegen und muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall eine Nullstelle von liegen.

Die Intervallmitte ist , dort hat den Wert

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert

Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen. Die Länge dieses Intervalls ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine reelle Lösung für die Gleichung


Lösung

Wie setzen

und schreiben die Gleichung als

Mit

ist dies die quadratische Gleichung

mit den beiden Lösungen

Somit ist

und die beiden Lösungen sind


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.


Lösung

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

mit . Diese Reihe ist nach Lemma 15.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der -te Summand der Exponentialreihe von nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Lösung

Der Quotient der Periodenlängen sei

mit . Also ist . Wir behaupten, dass

eine Periodenlänge für ist. Dies beruht auf

für alle , da ja mit (bzw. ) auch jedes ganzzahlige Vielfache eine Periodenlänge von (bzw. von ) ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.


Lösung

Wir gehen von

und

aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu

Aufgrund von Lemma 12.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) für Limiten ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für .


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Lösung

Die Ableitung von ist nach der Produktregel

Dadurch ist die Gleichung für richtig und der Induktionsanfang ist gesichert. Es sei die Gleichung nun für die -te Ableitung schon bewiesen. Wegen gilt somit

Daher ist die Gleichung auch für die -te Ableitung richtig.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Bestimme die Extrema von


Lösung

Es ist

Die Bedingung

ist äquivalent zu

und zu

Dies ist äquivalent zu

und schließlich zu

In diesem Punkt wird das globale Minimum angenommen, da sowohl für als auch für gegen strebt.


Aufgabe (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.


Lösung

a) Die Funktion ist differenzierbar und die Ableitung ist

Für sind diese beiden Summanden positiv, so dass die Ableitung stets positiv ist und daher streng wachsend ist. Daher ist die Abbildung injektiv. Die Funktion ist stetig, da sie differenzierbar ist. Daher genügt es für die Surjektivität, aufgrund des Zwischenwertsatzes, nachzuweisen, dass beliebig große und beliebig kleine Werte angenommen werden.

Für ist und daher

Da der Logarithmus für beliebig kleine Werte annimmt, gilt das auch für .

Für ist und daher

Da der Logarithmus für beliebig große Werte annimmt, gilt das auch für .

b) Durch Einsetzen ergibt sich , also ist das Urbild von . Aufgrund der Berechnung der Ableitung oben ist . Aufgrund der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt daher


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Lösung

Für reelles ist immer

Somit ist

für alle . Da die Folge gegen konvergiert und dies auch für die negative Folge gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge gegen konvergieren.