Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 7/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das Quadrieren
eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel
eine wachsende Funktion ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen und die Beziehung
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.
Tipp: Satz des Pythagoras.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge (also jedem ) die Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
mit , .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich
(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Die beiden reellen Zahlen und seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung
und
gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen konvergiert.
Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch
Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.
Aufgabe Aufgabe 7.10 ändern
Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch
eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und eine wachsende Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ein Supremum besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und beschränkte Teilmengen von . Ferner sei und .
- Zeige, dass .
- Wie lautet die entsprechende Formel für ?
- Zeige, dass .
- Was lässt sich über sagen?
- Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?
Aufgabe Aufgabe 7.15 ändern
Es sei , , und . Zeige .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige die folgenden Abschätzungen.
a)
b)
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von
Für welches wird diese Genauigkeit erreicht?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe * (4 Punkte)Aufgabe 7.19 ändern
Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt
aus genau einem Punkt besteht.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass jede Folge in eine monotone Teilfolge besitzt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass vollständig ist.
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