Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 44/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Abbildung

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix. Ebenso für .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung

die sich mit den beiden Standardrichtungen und ausdrücken lassen.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung

erfüllt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine Polynomfunktion beliebig oft stetig differenzierbar ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.

  1. Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
  2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

existiert, so dass

für alle gilt.


Aufgabe Aufgabe 44.12 ändern

Es seien und endlichdimensionale, -Vektorräume offen und

eine -mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine Auswahl von Vektoren aus . Zeige, dass dann für jede Permutation die Gleichheit

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung


Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt in Richtung . Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor anwendet.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

existiert, so dass

für alle gilt.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei

eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein derart gibt, dass sämtliche -ten Richtungsableitungen sind.


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

derart gibt, dass

gilt.


Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Funktion

mit

zweimal partiell differenzierbar ist, und dass

gilt.



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