Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 12

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge, eine Funktion und ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist stetig in .
  2. Zu jedem gibt es ein derart, dass aus

    die Abschätzung

    folgt.

  3. Zu jedem gibt es ein derart, dass aus

    die Abschätzung

    folgt.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Melons - Fethiye Market.jpg

Aufgabe

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen und Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?


Aufgabe *

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Aufgabe

Bestimme für die Funktion

im Punkt für ein explizites derart, dass aus

die Abschätzung

folgt.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einem nichtleeren offenen Intervall gilt.


Aufgabe *

Es sei und seien

stetige Funktionen mit

Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.


Aufgabe

Es seien

stetige Funktionen. Es sei mit und es gebe ein mit . Zeige, dass es ein derart gibt, dass die Einschränkung die Nullfunktion ist.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen und es seien

und

stetige Funktionen mit . Zeige, dass dann die Funktion

mit

ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte die durch

definierte Funktion stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Teilmenge und

eine Funktion. Zeige, dass stetig ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

von gibt.


Aufgabe *

Es sei und seien Funktionen. Dabei seien und stetig im Punkt , es gelte und es gelte für alle . Zeige, dass auch in stetig ist.


Die folgende Aufgabe verwendet die reelle Sinusfunktion, die wir später einführen werden. Im Moment muss man nur wissen, dass sie stetig und periodisch ist und dass sich ihre Werte zwischen und bewegen.

Aufgabe

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?


Aufgabe

Zeige, dass es eine stetige Funktion

derart gibt, dass auf jedem Intervall der Form mit sowohl positive als auch negative Werte annimmt.


Aufgabe *

Es sei eine stetige Funktion. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Funktion ist durch ihre Werte auf eindeutig festgelegt.
  2. Der Funktionswert ist durch die Funktionswerte , , festgelegt.
  3. Wenn für alle die Abschätzung

    gilt, so gilt auch


Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

mit

nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

mit

  1. Zeige, dass in den rationalen Zahlen nicht stetig ist.
  2. Zeige, dass in den irrationalen Zahlen stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine reelle Folge und sei

Die Funktion sei durch

festgelegt. Zeige, dass stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine reelle Folge und . Es sei

Die Funktion

sei durch

festgelegt. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn die Folge gegen konvergiert.


Die folgende Aufgabe beschreibt eine Variante des Folgenkriteriums für die Stetigkeit.

Aufgabe *

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent.


Aufgabe *

Sei , . Es sei

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit für alle gelte. Zeige, dass konstant ist.


Die nächsten beiden Aufgaben verwenden folgende Definition.

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt die Abbildung

die Einschränkung der Abbildung auf die Teilmenge .


Die Einschränkung wird mit bezeichnet.

Aufgabe

Es seien Teilmengen. Zeige, dass zu einer stetigen Funktion

auch die Einschränkung stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion

derart, dass es keine (endliche) Zerlegung des Intervalls gibt, so dass die Einschränkungen stetig sind.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. Es ist
  2. Für jede Folge in , die gegen konvergiert, konvergiert auch die Bildfolge gegen .


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe

Es sei

eine Funktion und . Definiere die Begriffe „linksseitiger“ und „rechtsseitiger Grenzwert“ von in sowie den Begriff „Sprungstelle“.


Aufgabe

Es sei

die Menge der Stammbrüche und eine reelle Folge. Es sei und . Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Die Folge konvergiert gegen .
  2. Die Funktion

    mit

    besitzt den Grenzwert .

  3. Die Funktion

    mit

    und ist stetig.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Funktion

im Punkt für ein explizites derart, dass aus

die Abschätzung

folgt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge, wobei

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion mit

in keinem Punkt stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.


Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.

Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man jede stetige Funktion

als mit einer stetigen geraden Funktion und einer stetigen ungeraden Funktion schreiben kann.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei , und

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

von gibt.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die Menge der stetigen Funktionen

mit überabzählbar ist.



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