Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}a\in D$ ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist stetig in ${}a$.
2. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass aus

   ${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{m}}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$

   folgt.

3. Zu jedem ${}s\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ derart, dass aus

   ${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{10^{r}}}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{10^{s}}}\,$

   folgt.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

stetig ist.

Aufgabe

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte ${}100$ Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen ${}99$ und ${}101$ Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=2x^{3}-4x+5\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe

Bestimme für die Funktion

${}f(x)=2x^{3}-4x^{2}+x-6\,$

im Punkt ${}a=1$ für ${}\epsilon ={\frac {1}{10}}$ ein explizites ${}\delta >0$ derart, dass aus

${}d(x,a)\leq \delta \,$

die Abschätzung

${}d(f(x),f(a))\leq \epsilon \,$

folgt.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in T$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$. Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y\in T$ aus einem nichtleeren offenen Intervall ${}]x-\delta ,x+\delta [$ gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit

${}f(a)>g(a)\,.$

Zeige, dass es ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass

${}f(x)>g(x)\,$

für alle ${}x\in [a-\delta ,a+\delta ]$ gilt.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

stetige Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ mit ${}f(a)\neq 0$ und es gebe ein ${}\epsilon >0$ mit ${}(fg){|}_{[a-\epsilon ,a+\epsilon ]}=0$. Zeige, dass es ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass die Einschränkung ${}g{|}_{[a-\delta ,a+\delta ]}$ die Nullfunktion ist.

Aufgabe

Es seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen und es seien

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon [b,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}g(b)=h(b)$. Zeige, dass dann die Funktion

$f\colon [a,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$f(t)=g(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}f(t)=h(t){\text{ für }}t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte ${}x\in \mathbb {R}$ die durch

${}f(x)={\begin{cases}1{\text{ für }}x\leq -1\,,\\x^{2}{\text{ für }}-1<x<2\,,\\-2x+7{\text{ für }}x\geq 2\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine endliche Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien ${}f,g,h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen. Dabei seien ${}g$ und ${}h$ stetig im Punkt ${}a$, es gelte ${}g(a)=f(a)=h(a)$ und es gelte ${}g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass auch ${}f$ in ${}a$ stetig ist.

Die folgende Aufgabe verwendet die reelle Sinusfunktion, die wir später einführen werden. Im Moment muss man nur wissen, dass sie stetig und periodisch ist und dass sich ihre Werte zwischen ${}-1$ und ${}1$ bewegen.

Aufgabe

Zeige, dass die durch

${}f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?

Aufgabe

Zeige, dass es eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart gibt, dass ${}f$ auf jedem Intervall der Form ${}[0,\delta ]$ mit ${}\delta >0$ sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Aufgabe *

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Funktion ${}f$ ist durch ihre Werte auf ${}\mathbb {Q}$ eindeutig festgelegt.
2. Der Funktionswert ${}f(a)$ ist durch die Funktionswerte ${}f(x)$, ${}x\neq a$, festgelegt.
3. Wenn für alle ${}x<a$ die Abschätzung

   ${}f(x)\leq c\,$

   gilt, so gilt auch

   ${}f(a)\leq c\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x\notin \mathbb {Q} \,,\\{\frac {1}{b}},\,{\text{ bei }}x\in \mathbb {Q} {\text{ und }}x={\frac {a}{b}}{\text{ gekürzt}}\,.\end{cases}}\,$

1. Zeige, dass ${}f$ in den rationalen Zahlen nicht stetig ist.
2. Zeige, dass ${}f$ in den irrationalen Zahlen stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und sei

${}S={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

Die Funktion ${}f\colon S\rightarrow \mathbb {R}$ sei durch

${}f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$

festgelegt. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und ${}x\in \mathbb {R}$. Es sei

${}T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}\subseteq \mathbb {R} \,.$

Die Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

sei durch

$f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}{\text{ und }}f(0)=x$

festgelegt. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn die Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Die folgende Aufgabe beschreibt eine Variante des Folgenkriteriums für die Stetigkeit.

Aufgabe *

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}x\in T$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

Aufgabe *

Sei ${}a\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {a}\vert <1$. Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${}f(az)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Die nächsten beiden Aufgaben verwenden folgende Definition.

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$f\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge ${}S\subseteq L$ heißt die Abbildung

$S\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

die Einschränkung der Abbildung auf die Teilmenge ${}S$.

Die Einschränkung wird mit ${}f{|}_{S}$ bezeichnet.

Aufgabe

Es seien ${}S\subseteq T\subseteq {\mathbb {K} }$ Teilmengen. Zeige, dass zu einer stetigen Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

auch die Einschränkung ${}f{|}_{S}$ stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,$

mit der Eigenschaft, dass es keine (endliche) Zerlegung ${}0=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n-1}<a_{n}=1$ des Intervalls ${}[0,1]$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${}f{|}_{]a_{i-1},a_{i}]}$ stetig sind.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei ${}a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion und ${}b\in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

2. Für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergiert auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

$n\mapsto x_{n}=\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{n}.$

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {x-1}{x^{2}-1}}$

im Punkt ${}a=1$.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

${\frac {2x^{3}+3x^{2}-1}{x^{3}-x^{2}+x+3}}$

im Punkt ${}a=-1$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}a\in \mathbb {R}$. Definiere die Begriffe „linksseitiger“ und „rechtsseitiger Grenzwert“ von ${}f$ in ${}a$ sowie den Begriff „Sprungstelle“.

Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\subseteq \mathbb {R} \,$

die Menge der Stammbrüche und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Es sei ${}b\in \mathbb {R}$ und ${}D=T\cup \{0\}$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Folge konvergiert gegen ${}b$.
2. Die Funktion

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$

   besitzt den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,f(x)=b$.

3. Die Funktion

   ${\tilde {f}}\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}{\tilde {f}}{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$

   und ${}{\tilde {f}}(0)=b$ ist stetig.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Funktion

${}f(x)=x^{3}+5x^{2}-3x+2\,$

im Punkt ${}a=3$ für ${}\epsilon ={\frac {1}{100}}$ ein explizites ${}\delta >0$ derart, dass aus

${}d(x,a)\leq \delta \,$

die Abschätzung

${}d(f(x),f(a))\leq \epsilon \,$

folgt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

${}b_{n}=2a_{n}^{4}-6a_{n}^{3}+a_{n}^{2}-5a_{n}+3\,$

definierten Folge, wobei

${}a_{n}={\frac {3n^{3}-5n^{2}+7}{4n^{3}+2n-1}}\,$

ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

in keinem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

$a_{n}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {n}}-3}{3{\sqrt {n}}-2}}}$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=f(-x)\,$

gilt.

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt ungerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

${}f(x)=-f(-x)\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man jede stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

als ${}f=g+h$ mit einer stetigen geraden Funktion ${}g$ und einer stetigen ungeraden Funktion ${}h$ schreiben kann.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$, ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ und

$f\colon B\left(P,b\right)\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

von ${}f$ gibt.

Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die Menge der stetigen Funktionen

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f(\mathbb {Q} )\subseteq \mathbb {Q}$ überabzählbar ist.