Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 49

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}$ ein Monom und es sei ${}D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}$ eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, ${}D_{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$.

1. Zeige

   ${}{\left(D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}=0\,,$

   falls ${}s_{j}>r_{j}$ für ein ${}j$ ist.

2. Zeige

   ${}{\left(D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}={\frac {r_{1}!\cdots r_{n}!}{(r_{1}-s_{1})!\cdots (r_{n}-s_{n})!}}X_{1}^{r_{1}-s_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}-s_{n}}\,,$

   falls ${}s_{j}\leq r_{j}$ für alle ${}j$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}$ ein Monom und es sei ${}D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}$ eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen, ${}D_{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$.

1. Zeige

   ${}{\left(D_{1}^{s_{1}}\cdots D_{n}^{s_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)=0\,,$

   falls ${}s_{j}\neq r_{j}$ für ein ${}j$ ist.

2. Zeige

   ${}{\left(D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}\right)}{\left(X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\right)}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)=r_{1}!\cdots r_{n}!\,.$

Aufgabe

Bestätige Satz 49.1 für ${}f(x,y)=x^{a}y^{b}$ in ${}(0,0)$ und ${}v=(2,3)$ bis zur dritten Ableitung.

Aufgabe

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y\cdot \sin x,$

im Nullpunkt ${}(0,0)$.

Kommentar:

Das Taylor-Polynom from Grad ${}\leq 3$ in ${}(0,0)$ ist von der Form

$T_{3}(v)=\sum _{\vert r\vert \leq 3}a_{r}v^{r},$

wobei für die Koeffizienten ${}a_{r}={\tfrac {1}{r!}}D^{r}f(0,0)$ gilt. Dabei soll ${}v=(x,y)$ sein. Außerdem ist ${}r\in \mathbb {N} ^{2}$ ein Multiindex. Diese Multiindexschreibweise bedeutet, dass beispielsweise ${}v^{(2,1)}=(x,y)^{(2,1)}$ als ${}x^{2}y$ interpretiert wird, und ist sehr nützlich, da die Schreibweise eine sehr kompakte Form ermöglicht. Komplett ausgeschrieben (also ohne Multiindexnotation) ist das Taylor-Polynom von der Form

$T_{3}(v)=T_{3}(x,y)=a_{00}+(a_{10}x+a_{01}y)+(a_{20}x^{2}+a_{11}xy+a_{02}y^{2})+(a_{30}x^{3}+a_{21}x^{2}y+a_{12}xy^{2}+a_{03}y^{3}).$

Hier haben wir die Terme, die den gleichen Grad besitzen, zur besseren Übersicht geklammert.

Zu bestimmen sind nun die Koeffizienten ${}a_{r}$. Für ${}r=(2,1)$ gilt beispielsweise

$D^{(2,1)}f(0,0)=\partial _{x}^{2}\partial _{y}f(0,0)=\partial _{x}^{2}(-\sin(x))\vert _{(0,0)}=\sin(x)\vert _{(0,0)}=0.$

Man beachte, dass man aufgrund des Satzes von Schwarz die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauschen kann, was die Rechnung manchmal vereinfachen kann. (Zum Beispiel ist damit direkt klar, dass ${}\partial _{x}^{2}\partial _{y}x\sin(\sin(y^{3}+2y+\exp(y)))=0$ ist, ohne zunächst explizit nach ${}y$ abzuleiten.)

Oft bietet es sich an, weitere Vorüberlegungen zu tätigen, bevor man alle Koeffizienten einzeln ausrechnet, um etwas Rechenaufwand zu sparen. In unserem Fall ist beispielsweise die vorliegende Funktion die Summe der Funktionen ${}x^{2}$ und ${}-y\sin x$. Entsprechend ist das Taylor-Polynom die Summe der Taylor-Polynome der beiden Summanden.

Der erste Summand ist selbst ein Polynom vom Grad ${}\leq 3$, sodass das zugehörige Taylor-Polynom auch ${}x^{2}$ ist. Dazu müssen wir also gar nichts rechnen.

Für den zweiten Summanden sehen wir, dass die höheren partiellen Ableitungen immer Null sind, wenn wir mindestens zweimal nach ${}y$ ableiten, sodass direkt klar ist, dass die zugehörigen Koeffizienten im Taylor-Polynom verschwinden.

 

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=e^{x-y^{2}},$

im Punkt ${}(1,1)$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto f(x,y,z)=e^{x}yz^{2}-xy,$

im Punkt ${}(1,0,-1)$.

Aufgabe *

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=e^{\sin x-\cos y},$

im Punkt ${}\left(0,\,{\frac {\pi }{2}}\right)$.

Aufgabe

Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in ${}2$ oder ${}3$ Variablen für die Grade ${}k=1,2,3$.

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y)=x^{2}y-3xy+5y^{2}+4x\,.$

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ im Punkt ${}P=(1,-2)$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen ${}u=x-1,v=y+2$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.

Aufgabe

Es sei ${}f$ ein Polynom in ${}n$ Variablen vom Grad ${}\leq k$. Zeige, dass ${}f$ mit dem Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ von ${}f$ im Nullpunkt übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{n}^{r_{n}}$ ein Monom vom Grad ${}\vert {\,r\,}\vert =\sum _{j=1}^{n}r_{j}>k$. Zeige

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{n}^{r_{n}}}{\Vert {x}\Vert ^{k}}}=0\,.$

In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ ein ${}n$- Tupel natürlicher Zahlen. Es sei ${}k:=\sum _{j=1}^{n}r_{j}$. Dann nennt man die Zahl

${}{\binom {k}{r}}={\frac {{k}!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{n}!}}\,$

einen Polynomialkoeffizienten.

Aufgabe

Im Fressnapf von Vorli liegen heute drei Würste, vier Knochen, sieben Trockenbällchen und zwei Kaustangen. In wie vielen Reihenfolgen kann Vorli das auffressen?

Kommentar:

Insgesamt gibt es ${}16$ Sachen zum Fressen. Eine Fressreihenfolge dieser Sachen kann man auffassen als eine Abbildung

$\{1,2,\ldots ,16\}\longrightarrow \{W,K,T,S\},$

wobei die Fresssachen so oft getroffen werden, wie sie da sind. Somit gibt es

${}{\binom {16}{3,4,7,2}}={\frac {16\cdot 15\cdots 8}{3!4!2!}}=15\cdots 10\cdot 4\,.$

 

Aufgabe

In einem Studium werden ${}11$ Leistungsnachweise verlangt, und zwar ${}3$ Seminarscheine, ${}5$ Klausuren, ${}2$ mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?

Aufgabe

Es seien ${}n,k\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ mit ${}n$. Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen

${\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow \{1,\ldots ,k\},$

bei denen das Urbild zu ${}j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ aus genau ${}r_{j}$ Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}k,n\in \mathbb {N}$ und ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{n})$ mit ${}\sum _{j=1}^{k}r_{j}=n$. Zeige, dass die Anzahl der ${}n$-Tupel

$(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,k\}^{n},$

in denen die Zahl ${}j$ genau ${}r_{j}$-mal vorkommt, gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel ${}r=(r_{1},\ldots ,r_{k})$ einer ${}n$-elementigen Menge gleich

${}{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung

$(a_{1}+\cdots +a_{n})^{k}=\sum _{r=(r_{1},\ldots ,r_{n}),\,\sum _{i=1}^{n}r_{i}=k}{\binom {k}{r}}a_{1}^{r_{1}}a_{2}^{r_{2}}\cdots a_{n}^{r_{n}}.$

Aufgabe *

Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für ${}P\in G$ und ${}v\in V$ die Beziehung

${}\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}={\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ und seien

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt ${}fg$ im Punkt ${}P$ vom Grad ${}\leq 2$ nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von ${}f$ und ${}g$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq 1$ sein muss.

Kommentar:

Möchte man ein Gegenbeispiel zu einer Aussage finden, so ist es sinnvoll an eine möglichst einfach Situation zu denken. In diesem Fall können wir uns beispielsweise fragen, ob die Aussage für Funktionen in einer Variablen gilt. Falls dies nicht der Fall ist, so kann die Aussage erst recht nicht für Funktionen in mehrenen Variablen gelten.

Wir können die Situation noch viel weiter vereinfachen, indem wir sehr spezielle Funktionen ${}f,g$ wählen. Hier bietet es sich an, anzunehmen, dass ${}f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$ und ${}g(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}$ bereits selbst Polynome vom Grad ${}2$ in einer Variablen sind. Die Taylor-Polynome im Punkt ${}0$ vom Grad ${}\leq 1$ lassen sich daran direkt ablesen als ${}a_{0}+a_{1}x$ und ${}b_{0}+b_{1}x$.

Außerdem ergibt sich, dass das Taylor-Polynom vom Produkt ${}f(x)\cdot g(x)$ vom Grad ${}\leq 2$ genau

$a_{0}b_{0}+(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})x+(a_{2}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{2})x^{2}$

ist. Dieser Ausdruck stimmt offenbar nicht mit dem Produkt der beiden Taylor-Polynome vom Grad ${}\leq 1$

$(a_{0}+a_{1}x)(b_{0}+b_{1}x)=a_{0}b_{0}+(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})x+a_{1}b_{1}x^{2}$

überein, falls wir die Koeffizienten geeignet wählen.

Dieses Beispiel veranschaulicht aber sehr schön, dass die beiden Ausdrücke bis zum Grad ${}\leq 1$ übereinstimmen und sich erst im Grad ${}2$ unterscheiden. Diese Beobachtung gilt auch allgemeiner: Falls wir die Taylor-Polynome bis zum Grad ${}\leq k$ von Funktionen ${}f$ und ${}g$ kennen, so können wir aus dem Produkt dieser Polynome das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ der Funktion ${}fg$ bestimmen. Diese Aussage soll in Aufgabe ***** gezeigt werden.

 

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}0\in G$ und

$R\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Sei ${}k\in \mathbb {N}$. Zeige, falls für eine Konstante ${}c>0$ und alle ${}v$ in einer offenen Umgebung von ${}0$ die Abschätzung ${}\Vert {R(v)}\Vert \leq c\Vert {v}\Vert ^{k+1}$ gilt, dass dann ${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\tfrac {\Vert {R(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$ folgt.

Zeige umgekehrt durch ein Beispiel, dass aus ${}\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\tfrac {\Vert {R(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert ^{k}}}=0$ im Allgemeinen nicht die Abschätzung ${}\Vert {R(v)}\Vert \leq c\Vert {v}\Vert ^{k+1}$ folgt.

Aufgabe *

Finde ein reelles Polynom ${}f$ in zwei Variablen vom Grad ${}\leq 2$, das die folgenden Eigenschaften besitzt. Ist die Lösung eindeutig?

1. Es ist ${}f((0,0))=0$.
2. Es ist ${}f((1,1))=2$.
3. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((0,0))=1\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((0,0))=-2\,.$

5. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((1,1))=2\,.$

6. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((1,1))=3\,.$

Aufgabe *

Gibt es ein reelles Polynom ${}f$ in zwei Variablen vom Grad ${}\leq 2$, das die folgenden Eigenschaften besitzt?

1. Es ist ${}f((0,0))=0$.
2. Es ist ${}f((0,1))=0$.
3. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((0,0))=1\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((0,0))=-2\,.$

5. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((0,1))=-1\,.$

6. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((0,1))=1\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass es kein reelles Polynom ${}f$ in zwei Variablen vom Grad ${}\leq 2$ gibt, das die folgenden Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}f((0,0))=0$.
2. Es ist ${}f((1,1))=0$.
3. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((0,0))=1\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((0,0))=-2\,.$

5. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}((1,1))=-1\,.$

6. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}((1,1))=1\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Bestätige Satz 49.1 anhand des folgenden Beispiels.

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-\cos \left(x-y^{2}\right),$

${}P=(1,-3)$, ${}v=(5,-2)$, ${}k=2$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 3$ für die Funktion

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto z\cdot \exp(xy),$

im Nullpunkt ${}(0,0,0)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}f(x,y)=-2xy^{3}-5x^{2}y^{2}+4xy^{2}-7y+3\,.$

Berechne das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ im Punkt ${}P=(-3,4)$ algebraisch (d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen ${}u=x+3,v=y-4$ aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab) und über Ableitungen.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ und seien

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}k$-mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen ${}T_{k}(f)$ und ${}T_{k}(g)$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq k$. Zeige, dass das Produkt ${}fg$ ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom ${}T_{k}(fg)$ von ${}fg$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq k$ die Beziehung

${}T_{k}(fg)=(T_{k}(f)\cdot T_{k}(g))_{\leq k}\,$

besteht, wobei der Subskript ${}{\leq k}$ bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad ${}k$ genommen wird.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Sei ${}k\in \mathbb {N}$. Zeige, dass es maximal ein Polynom ${}p(x_{1},\ldots ,x_{n})$ vom Grad ${}\leq k$ mit der Eigenschaft geben kann, dass

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\Vert {f(x)-p(x)}\Vert }{\Vert {x}\Vert ^{k}}}=0\,$

gilt.