Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 19/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

\setcounter{section}{19}






\zwischenueberschrift{Die Garbe der Kähler-Differentiale auf einem Schema}

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Schema}{}{} über einem Basisschema $S$. Wir möchten eine Garbenversion des Moduls der Kählerdifferentiale definieren.





\inputfaktbeweis
{Affines Schema/Affines Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Lokalisierungseigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $A$ eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} über einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \Gamma { \left( D(f), \widetilde { \Omega_{ A {{|}} R } } \right) } , \tilde{d} \right) } }
{ =} { { \left( \Omega_{ A_f {{|}} R }, d \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und für jedes \definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( A \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \left( \widetilde { \Omega_{ A {{|}} R } } \right) }_{\mathfrak p}, d_{\mathfrak p} \right) } }
{ =} { { \left( \Omega_{ A_{\mathfrak p} {{|}} R }, d \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Lemma 18.6 in Verbindung mit Lemma 14.5.

}





\inputdefinition
{}
{

Es sei \maabb {p} {X} {S } {} ein \definitionsverweis {Schema über}{}{} einem Basisschema $S$. Dann versteht man unter der \definitionswort {Garbe der Kähler-Differentiale}{}
\mathl{\Omega_{ X {{|}} S }}{} denjenigen \definitionsverweis {quasikohärenten}{}{} ${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{} auf $X$ zusammen mit einer Derivation über $p^{-1} {\mathcal O}_{ S }$ \maabbdisp {d} { {\mathcal O}_{ X } } { \Omega_{ X {{|}} S } } {} derart, dass für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \left( \Omega_{ X {{|}} S } \right) }_P ,d_P \right) } }
{ =} { { \left( \Omega_{ {\mathcal O}_{X, P} {{|}} {\mathcal O}_{S, p(P)} } ,d\right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt ist.

} Es ist zu zeigen, dass es ein solches Objekt in eindeutiger Weise gibt. Durch die Quasikohärenz muss zu jeder affinen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jeder affinen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( A \right) } }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ p^{-1} (V) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Modul auf $U$ mit
\mathl{\widetilde { \Omega_{ A {{|}} R } }}{} übereinstimmen. Im affinen Fall ist nach Lemma 19.1 der Modul
\mathl{\widetilde { \Omega_{ A {{|}} R } }}{} das richtige Modell. Wenn \mathkor {} {(\Omega,d)} {} {(\Omega',d')} {} zwei Modelle sind, so gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft \zusatzklammer {zuerst auf den affinen Stücken und dann allgemein} {} {} einen ${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \widetilde { \Omega_{ A {{|}} R } } } { \Omega' } {.} Da dieser punktweise ein Isomorphismus ist, handelt es sich überhaupt um einen Isomorphismus. Insbesondere kann es nur eine solche Garbe geben. Wenn eine affine Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { \bigcup_{j \in J} V_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und dazu eine affine Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X }
{ =} { \bigcup_{i \in I} U_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i }
{ \subseteq }{ p^{-1} (V_j) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j }
{ = }{j(i) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorliegt, so kann man die
\mathl{\Omega_{ U_i {{|}} V_{j(i)} }}{} miteinander verkleben, da die Einschränkungen auf affinen Stücken
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ U_i \cap U_{i'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{V_{j(i)} \cap V_{j(i')} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eindeutig bestimmt sind.




\inputdefinition
{}
{

Es sei \maabb {p} {X} {S } {} ein \definitionsverweis {Schema über}{}{} einem Basisschema $S$. Dann versteht man unter der \definitionswort {Tangentialgarbe}{}
\mathl{\mathcal{T}_{ X, S }}{} den \definitionsverweis {Dualmodul}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathcal{T}_{ X, S } }
{ =} { \Omega_{ X {{|}} S } ^* }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}

Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathcal{T}_{ X, S } }
{ =} { \Omega_{ X {{|}} S } ^* }
{ =} { {\mathcal Hom} { \left( \Omega_{ X {{|}} S } , {\mathcal O}_{ X } \right) } }
{ =} { \mathcal{Der} { \left( {\mathcal O}_{ X } , {\mathcal O}_{ X } \right) } }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die letzte Gleichheit auf der universellen Eigenschaft der Kähler-Differentiale beruht. Entsprechend nennt man die Garbe der Kähler-Differentiale auch die \stichwort {Kotangentialgarbe} {.}

Wir formulieren die Aussagen für die Kähler-Differentiale im affinen Fall aus der letzten Vorlesung allgemein für ein Schema über einem Basischema.





\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Schema/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} ein \definitionsverweis {Schemamorphismus über}{}{} einem Basisschema $S$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Sequenz von \definitionsverweis {quasikohärenten}{}{} ${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
\mathdisp {\varphi^*\Omega_{ Y {{|}} S } \longrightarrow \Omega_{ X {{|}} S } \longrightarrow \Omega_{ X {{|}} Y } \longrightarrow 0} { }
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Lemma 18.7.

}






\inputfaktbeweis
{Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Schema/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Schema über}{}{} einem Basischema $S$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal I } }
{ \subseteq }{ {\mathcal O}_{ X } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Idealgarbe}{}{} auf $X$ mit dem zugehörigen \definitionsverweis {abgeschlossenen Unterschema}{}{} \maabb {j} {Y} {X } {.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Sequenz
\mathdisp {{ \mathcal I } / { \mathcal I } ^2 \longrightarrow j^*\Omega_{ X {{|}} S } \longrightarrow \Omega_{ Y {{|}} S } \longrightarrow 0} { }
von \definitionsverweis {quasikohärenten}{}{} ${\mathcal O}_{ Y }$-\definitionsverweis {Modul}{}{} \definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Lemma 18.8.

}






\inputfaktbeweis
{Schema/Glatt/Kählermodul/Lokal frei/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und es sei $X$ ein \definitionsverweis {zusammenhängendes}{}{} \definitionsverweis {Schema von endlichem Typ}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist $X$ genau dann \definitionsverweis {glatt}{}{,} wenn der \definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ X {{|}} K }}{} \definitionsverweis {lokal frei}{}{} von konstantem Rang $\operatorname{dim} { \left( X \right) }$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Satz 18.16 und Satz 18.17.

}





\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und es sei $X$ ein \definitionsverweis {zusammenhängendes}{}{} \definitionsverweis {glattes}{}{} \definitionsverweis {Schema von endlichem Typ}{}{} über $K$ der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $d$. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega_X }
{ \defeq} { \operatorname{Det} \Omega_{ X {{|}} K } }
{ =} { \bigwedge^d \Omega_{ X {{|}} K } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {kanonische Garbe}{} von $X$.

}






\zwischenueberschrift{Das Tangentialbündel auf dem projektiven Raum}





\inputfaktbeweis
{Projektiver Raum/R/Kählermodul/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{n}_{R } }
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R[X_0,X_1 , \ldots , X_n] \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} über einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.}
\faktfolgerung {Dann wird der ${\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } }$-\definitionsverweis {Modul}{}{} der \definitionsverweis {Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ {\mathbb P}^{n}_{R } {{|}} R }}{} durch die kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_{ {\mathbb P}^{n}_{R } {{|}} R } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } (-1)^{\oplus n+1} \, \stackrel{ X_0 , \ldots , X_n }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
zusammen mit der universellen Derivation, die auf jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{{\mathbb P}^{n}_{R } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{df }
{ =} { \left( { \frac{ \partial f }{ \partial X_0 } } , \, \ldots , \, { \frac{ \partial f }{ \partial X_n } } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} abbildet, beschrieben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir bezeichnen die Kerngarbe links, die wir als Kähler-Modul nachweisen wollen, mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal S } }
{ =} { \operatorname{Syz} { \left(X_0 , \ldots , X_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die angegebene Abbildung $d$ \zusatzklammer {die ja von der universellen Derivation auf dem $n+1$-dimensionalen Raum herrührt} {} {} macht aus einer Funktion vom Grad $0$ eine Funktion vom Grad $-1$, was man direkt für \zusatzklammer {rationale} {} {} Monome überprüfen kann. Daher liegt eine $R$-lineare Abbildung \maabbdisp {d} { \Gamma { \left( U, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } \right) } } { \Gamma { \left( U , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } (-1)^{\oplus n+1} \right) } } {} vor. Die Leibnizregel überträgt sich hierher, da ja die partiellen Ableitungen die Leibnizregel erfüllen. Es ist zu zeigen, dass das Bild von $d$ im Kern der hinteren Abbildung landet. Für ein Monom $X^\nu$ vom Grad $0$ ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 0}^n X_j { \frac{ \partial X^\nu }{ \partial X_j } } }
{ =} { \sum_{j = 0}^n { \left( \nu_j X^\nu \right) } }
{ =} { { \left( \sum_{j = 0}^n \nu_j \right) } X^\nu }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {}{}{.} Betrachten wir die Situation auf
\mathl{D_+(X_0)}{} und setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_j }
{ = }{ { \frac{ X_j }{ X_0 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist unter Verwendung von Beispiel 12.10 und Beispiel 15.5
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \Gamma { \left( D_+(X_0), { \mathcal S } \right) } }
{ =} { \zeilemitteil { \operatorname{kern} \left( \Gamma { \left( D_+(X_0), {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } (-1) \right) }^{\oplus n+1} \stackrel{X_0,X_1 , \ldots , X_n }{ \longrightarrow } \Gamma { \left( D_+(X_0), {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } \right) } \right) } {} }
{ =} { \zeilemitteil { \operatorname{kern} \Bigl( { \left( R[X_0, X_1 , \ldots , X_n]_{X_0} \right) }_{-1} \oplus \cdots \oplus { \left( R[X_0, X_1 , \ldots , X_n]_{X_0} \right) }_{-1} } {\stackrel{X_0,X_1 , \ldots , X_n }{ \longrightarrow } { \left( R[X_0, X_1 , \ldots , X_n]_{X_0} \right) }_{0} \Bigr)} }
{ =} { \zeilemitteil { \operatorname{kern} \Bigl( R[Y_1 , \ldots , Y_n ] \cdot X_0^{-1} \oplus \cdots \oplus R[Y_1 , \ldots , Y_n ]\cdot X_0^{-1} } {\stackrel{X_0,X_0Y_1 , \ldots , X_0Y_n }{ \longrightarrow } R[Y_1 , \ldots , Y_n] \Bigr)} }
{ \cong} { \zeilemitteil { R[Y_1 , \ldots , Y_n ] \oplus \cdots \oplus R[Y_1 , \ldots , Y_n ] } {} }
} {}{}{,} wobei zuletzt $n$ Summanden stehen und darin das Tupel
\mathl{\left( P_1 , \, \ldots , \, P_n \right)}{} dem Tupel
\mathl{\left( - \sum_{i = 1}^n P_iY_i X_0^{-1} , \, P_1 X_0^{-1} , \, \ldots , \, P_n X_0^{-1} \right)}{} des Kerns entspricht. Unter der Abbildung $d$ wird das Monom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^\mu }
{ =} { { \left( { \frac{ X_1 }{ X_0 } } \right) }^{\mu_1} \cdots { \left( { \frac{ X_n }{ X_0 } } \right) }^{\mu_n} }
{ =} { X_0^{- \sum_{j = 1}^n \mu_j} X_1^{\mu_1} \cdots X_n^{\mu_n} }
{ \in} { \Gamma { \left( D_+(X_0) , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } \right) } }
{ } { }
} {}{}{} auf das Element
\mathdisp {\left( - { \left( \sum_{j = 1}^n \mu_j\right) } X_0^{ -\sum_{j = 1}^n \mu_j-1} X_1^{\mu_1} \cdots X_n^{\mu_n} , \, \mu_1 X_0^{ -\sum_{j = 1}^n \mu_j} X_1^{\mu_1-1} X_2^{\mu_2} \cdots X_n^{\mu_n} , \, \ldots , \, \mu_n X_0^{ -\sum_{j = 1}^n \mu_j} X_1^{\mu_1} X_2^{\mu_2} \cdots X_n^{\mu_n-1} \right)} { }
abgebildet. Dieses entspricht unter der oben beschriebenen Identifizierung \zusatzklammer {also die erste Komponente weglassen und mit $X_0$ multiplizieren} {} {} einfach dem Tupel der Ableitungen nach den Variablen $Y_j$. Also liegt nach Lemma 18.5 die universelle Derivation des Polynomrings
\mathl{R[Y_1 , \ldots , Y_n]}{} vor.

}

Insbesondere ist der Modul der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum lokal frei.





\inputfaktbeweis
{Projektiver Raum/R/Tangentialgarbe/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{n}_{R } }
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R[X_0,X_1 , \ldots , X_n] \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} über einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.}
\faktfolgerung {Dann wird die \definitionsverweis {Tangentialgarbe}{}{} auf
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{R }}{} durch die kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } \, \stackrel{ X_0 , \ldots , X_n }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } (1)^{\oplus n+1} \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \mathcal{T}_{ {\mathbb P}^{n}_{R }, R } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
beschrieben.}
\faktzusatz {Dabei geht hinten das globale Element
\mathl{X_ie_j}{} \zusatzklammer {das in der $j$-ten Komponente steht} {} {} auf die globale Derivation
\mathl{X_i { \frac{ \partial }{ \partial X_j } }}{.}}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Satz 19.8 durch Dualisieren. Der Zusatz folgt ebenfalls aus Satz 19.8: Das Element
\mathl{X_ie_j}{} in der $j$-ten Komponente von
\mathl{{\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } (1)^{\oplus n+1}}{} entspricht beim Dualisieren der Abbildung \maabbdisp {X_i \circ p_j} { {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } (- 1)^{\oplus n+1} } { {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } } {,} also der Projektion auf die $j$-te Komponente gefolgt von der Multiplikation mit $X_i$. Dies entspricht wiederum, aufgefasst als Linearform auf dem Modul der Kähler-Differentialformen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ {\mathbb P}^{n}_{R } {{|}} R } }
{ \subseteq }{ {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R } } (-1)^{\oplus n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der Linearform, die zur Derivation
\mathl{f \mapsto X_i { \frac{ \partial f }{ \partial X_j } }}{} gehört.

}


Es ist eine Besonderheit des projektiven Raumes, verglichen mit anderen projektiven Varietäten, dass es auf ihm viele globale Vektorfelder gibt.





\inputfaktbeweis
{Projektiver Raum/K/Kanonische Garbe/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb P}^{n}_{R } }
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R[X_0,X_1 , \ldots , X_n] \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {projektive Raum}{}{} über einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist die \definitionsverweis {kanonische Garbe}{}{} gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega_{ {\mathbb P}^{n}_{R} {{|}} R} }
{ = }{ \operatorname{Det} \Omega_{ {\mathbb P}^{n}_{R} {{|}} R } }
{ \cong }{ {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } (-n-1 ) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Satz 19.8, Satz 16.11 und Korollar 16.12.

}


Die antikanonische Garbe, also das Dual der kanonischen Garbe, ist auf dem projektiven Raum somit gleich
\mathl{{\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } (n+1)}{} und besitzt viele globale Schnitte.






\zwischenueberschrift{Hyperflächen im projektiven Raum}





\inputfaktbeweis
{Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Charakterisierungen/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} vom Grad $d$.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die \definitionsverweis {affine Hyperfläche}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V(F) }
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]/(F) \right) } }
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist außerhalb des Nullpunktes \definitionsverweis {glatt}{}{.} }{Die \definitionsverweis {projektive Hyperfläche}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{V_+(F) }
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]/(F) \right) } }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ }{ }
} {}{}{} ist glatt. }{Für jede Variable $X_i$ ist
\mathl{K[X_0 , \ldots , X_{i-1},X_{i+1} , \ldots , X_n ]/( \tilde{F}_i )}{} glatt, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{F}_i }
{ =} { F { \frac{ 1 }{ X_i } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Dehomogenisierung von $F$ bezüglich $X_i$ bezeichnet. }{Der \definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
\mathl{\Omega_{ Y {{|}} K }}{} ist \definitionsverweis {lokal frei}{}{.} }{Es liegt eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ Y } (-d) \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, j_Y^*\Omega_{ {\mathbb P}^{n}_{K} {{|}} K } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_{ Y {{|}} K } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
von lokal freien Garben auf $Y$ vor. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar wegen Lemma 12.17 und da die Glattheit eine lokale Eigenschaft ist. Die Äquivalenz von (2) und (4) beruht auf Korollar 19.6. Die Äquivalenz von (1) und (3) beruht darauf, dass die Kegelabbildung lokal über $D_+(X_i)$ durch \maabbdisp {} { D(X_i) = \operatorname{Spek} { \left( R_{X_i} \right) } = \operatorname{Spek} { \left( { \left( R_{X_i} \right) }_0 [X_i,X_i^{-1} ] \right) } } { D_+(X_i) = \operatorname{Spek} { \left( { \left( R_{X_i} \right) }_0 \right) } } {} gegeben ist. Lokal ist die Kegelabbildung also ein punktierter affiner Zylinder über der Basis.

Von (4) \zusatzklammer {bzw. (2)} {} {} nach (5). Nach Lemma 19.5 gibt es die exakte Sequenz
\mathdisp {{ \mathcal I } / { \mathcal I }^2 \longrightarrow j_Y^*\Omega_{ {\mathbb P}^{n}_{K} {{|}} K } \longrightarrow \Omega_{ Y {{|}} K } \longrightarrow 0} { . }
Dabei ist ${ \mathcal I }$ das von $F$ erzeugte Hauptideal und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal I } }
{ \cong }{ {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } (-\delta ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über die Zuordnung \maabbeledisp {} { {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } } { {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } (\delta ) } {1} { F } {.} Ferner ist die Einschränkung dieser Idealgarbe auf $Y$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{ Y } (-\delta ) }
{ =} { { \mathcal I } \otimes {\mathcal O}_{ Y } }
{ =} { { \mathcal I } \otimes {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} }/ { \mathcal I } }
{ =} { { \mathcal I } / { \mathcal I }^2 }
{ } { }
} {}{}{.} Als Einschränkung einer invertierbaren Garbe ist dies wieder invertierbar. Lokal ist die linke Abbildung wie in Bemerkung 17.10 durch die Jacobi-Matrix zur Dehomogenisierung von $F$ gegeben, und wegen der Glattheit ist diese \zusatzklammer {sogar auch in den Restekörpern} {} {} injektiv. Von (5) nach (4) ist eine Einschränkung.

}






\inputfaktbeweis
{Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Kanonische Garbe/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X_0,X_1 , \ldots , X_n ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{} vom Grad $d$ derart, dass die \definitionsverweis {projektive Hyperfläche}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{ V_+(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.}
\faktfolgerung {Dann ist die \definitionsverweis {kanonische Garbe}{}{} gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega_Y }
{ \cong }{ {\mathcal O}_{ Y } (d - n-1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir wenden die kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ Y } (-d) \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, j_Y^*\Omega_{ {\mathbb P}^{n}_{K} {{|}} K } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_{ Y {{|}} K } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
von lokal freien Garben auf $Y$ aus Satz 19.11 an. Nach Satz 16.11 und Korollar 19.10 ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ {\mathcal O}_{ Y } (-d) \otimes \omega_{Y {{|}} K} }
{ =} { {\mathcal O}_{ Y } (-d) \otimes \operatorname{Det} \Omega_{ Y {{|}} K } }
{ =} { \operatorname{Det} j^*_Y \Omega_{ {\mathbb P}^{n}_{K} {{|}} K } }
{ =} { j^*_Y \operatorname{Det} \Omega_{ {\mathbb P}^{n}_{K} {{|}} K } }
{ =} { j^*_Y {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{K} } (-n-1) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {{\mathcal O}_{ Y } (-n-1) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Dabei beruht die letzte Gleichung auf Lemma Anhang 4.7. Tensorierung mit
\mathl{{\mathcal O}_{ Y } (d)}{} ergibt die Behauptung.

}







\inputbemerkung
{}
{

Korollar 19.12 erlaubt eine grobe Klassifikation von glatten Hyperflächen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y }
{ =} {V_+(F) }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im projektiven Raum, je nachdem, ob in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega_Y }
{ \cong }{ {\mathcal O}_{ Y } (d - n-1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Twist
\mathl{d-n-1}{} negativ, gleich $0$ oder positiv ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also Kurven in der projektiven Ebene, liegt bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{1,2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine projektive Gerade vor, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wenn die kanonische Garbe trivial ist, eine elliptische Kurve und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Kurve vom allgemeinen Typ. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also Flächen im projektiven Raum, liegt bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine projektive Ebene vor, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine zu
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{K} \times {\mathbb P}^{1}_{K}}{} isomorphe Fläche und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Fläche, die isomorph ist zu einer projektiven Ebene, auf der man sechs Punkte aufgeblasen hat. Jedenfalls hat man bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \leq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine sogenannte rationale Fläche, deren \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{} gleich dem \definitionsverweis {rationalen Funktionenkörper}{}{} in zwei Variablen ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wenn die kanonische Garbe trivial ist, liegt eine sogenannte $K3$-Fläche vor. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} hat man eine Fläche vom allgemeinen Typ.

}


<< | Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020) | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)