Kurs:Differentialgeometrie/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	5	2	4	8	4	5	3	2	6	7	4	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die zweite tangentiale Ableitung (oder die tangentiale Beschleunigung) einer (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbaren Kurve

   $\gamma \colon I\longrightarrow Y$

   in eine differenzierbare Hyperfläche  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. 

2. Ein zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.
3. Die Tangentialabbildung in einem Punkt  ${}P\in M$  zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N,$

   wobei ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

4. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.
5. Das Volumenmaß zu einer positiven Volumenform ${}\omega$ auf einer ${}n$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
6. Eine geodätische Kurve auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Krümmung auf einen implizit gegebenen ebenen Kurve  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. 
2. Die Transformationsformel für positive Volumenformen auf Mannigfaltigkeiten.
3. Der Satz über die Gaußkrümmung und die Schnittkrümmung auf einer differenzierbaren Fläche  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ 

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei  ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt  ${}P\in G$  ein surjektives totales Differential besitze. Es sei  ${}v\in T_{P}Z$  ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser ${}Z$ zu ${}\varphi$ durch ${}P$. Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

$\gamma \colon ]-\epsilon ,\epsilon [\longrightarrow Z$

(für ein geeignetes ${}\epsilon >0$) mit  ${}\gamma (0)=P$  und mit

${}\gamma '(t)=v\,$

gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit  ${}0<r<R$.  Bestimme ein Einheitsnormalenfeld für den (eingebetteten) Torus

${}T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Man erläutere die Relevanz des Satzes über implizite Abbildungen für den Aufbau der Theorie der Mannigfaltigkeiten.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Selbstadjungiertheit der Weingartenabbildung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein kompakter Raum und es sei  ${}Y\subseteq X$  eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ${}Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ und einem Punkt  ${}P\in M$  derart, dass ${}M$ und ${}M\setminus \{P\}$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe für jeden Tangentialvektor  ${}v\in T_{P}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$  mit  ${}\Vert {v}\Vert =1$  in einem Punkt  ${}P\in S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$  auf der Einheitssphäre einen differenzierbaren Repräsentanten

$\gamma \colon I\longrightarrow S^{2}$

mit  ${}\gamma (0)=P$  an.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die Standardparabel  ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  mit der induzierten riemannschen Struktur und mit der Parametrisierung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(t,\,t^{2}\right),$

die wir als eine (inverse) Karte betrachten. Bestimme die riemannsche Fundamentalfunktion  ${}g(t)=g_{11}(t)$. 

Aufgabe * (6 Punkte)

Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\tau$ zu

${}\tau =dx\wedge dy\wedge dz-wdx\wedge dy\wedge dw+\cos(xy)dx\wedge dz\wedge dw-ywdy\wedge dz\wedge dw\,$

unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(r,s,t)\longmapsto (r^{2}s,t,\sin r,e^{st})=(x,y,z,w).$

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{-1}),$

und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},uv,-u+v^{2}),$

und die Differentialform

${}\omega =xdx-zdy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$.

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform ${}\omega$ zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, dass jede offene Teilmenge  ${}N\subseteq M$  ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit (eventuell leerem) Rand ist, und dass

${}\partial N=\partial M\cap N\,$

gilt.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von geodätischen Kurven bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs.