Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 17/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},

eine Linearform. Es sei ${}M$ der Graph dieser Funktion, den wir als riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen. Zeige, dass zwischen den Volumina entsprechender Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ und des Graphen eine konstante Beziehung besteht.

Aufgabe * Aufgabe 17.2 ändern

Berechne den Flächeninhalt der Sphäre mit Hilfe von Korollar 17.1.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere die Rotationsfläche ${}S$ zu

M={\left\{(\sin {\frac {1}{y}},y)\mid y>0\right\}}

um die ${}x$ -Achse ${}A$ . Ist ${}S$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{3}\setminus A$ ? Ist die Menge ${}S$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{3}$ ? Ist der Abschluss von ${}S$ in ${}\mathbb {R} ^{3}$ eine Mannigfaltigkeit?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

\Gamma ={\left\{(x,e^{x})\mid x\leq 0\right\}}

um die ${}x$ -Achse rotieren lässt, kleiner als ${}10$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestätige, dass die in Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 angegebenen Abbildungen ihr Bild auf der Einheitssphäre haben und bis auf eine Nullmenge surjektiv sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die (partiell definierten) Umkehrabbildungen zu den in Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 angegebenen Abbildungen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass Längenkreise und Breitenkreise auf der Erdkugel senkrecht aufeinander stehen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wie lange ist der ${}30$ -ste Breitenkreis auf der Erde (man setze den Erdradius mit ${}6370$ km an).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welcher Prozentanteil der Erde wird in einem Moment von der Sonne beschienen (die Sonne soll wegen ihrer großen Entfernung als punktförmig angesetzt werden)?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte den Ellipsoid

M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \ {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\right\}},

für ${}a,b,c\in \mathbb {R} _{+}$ . Berechne den Flächeninhalt von M für ${}a=b$ . Was passiert für ${}a\rightarrow c$ ?

\alpha \colon S^{2}\setminus \{N\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}

die stereographische Projektion.

a) Bestime ${}\alpha _{*}\omega$ zur kanonischen Flächenform auf ${}S^{2}$ .

b) Berechne mit ${}\alpha _{*}\omega$ den Flächeninhalt der Sphäre.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Graphen ${}M$ der Funktion

\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y+x^{2},

als riemannsche Mannigfaltigkeit. Berechne den Flächeninhalt des Graphen oberhalb des Quadrats ${}[-1,1]\times [-1,1]$ .

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

M={\left\{(x,x^{2})\mid x\in \mathbb {R} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}

die Parabel, also der Graph der Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.

Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche um die ${}x$ -Achse keine Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man stelle eine Kugeloberfläche als Rotationsfläche dar und berechne damit den Inhalt der Kugeloberfläche.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man stelle einen Torus als Rotationsfläche dar und berechne damit seinen Flächeninhalt.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den „Abstand“ zwischen Osnabrück und Bangalore (den Erdradius mit ${}6370$ km ansetzen) in den beiden folgenden Sinnen.

a) Entlang der Erdoberfläche (Luftlinie).

b) Durch die Erde (Maulwurfslinie).

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Wie lange ist das Bild des ${}30$ -sten Breitenkreises auf den in Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 beschriebenen Karten (man setze den Erdradius mit ${}6370$ km an)?