Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 17

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},$

eine Linearform. Es sei ${}M$ der Graph dieser Funktion, den wir als riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen. Zeige, dass zwischen den Volumina entsprechender Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ und des Graphen eine konstante Beziehung besteht.

Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt der Sphäre mit Hilfe von Korollar 17.1.

Aufgabe

Diskutiere die Rotationsfläche ${}S$ zu

$M={\left\{(\sin {\frac {1}{y}},y)\mid y>0\right\}}$

um die ${}x$-Achse ${}A$. Ist ${}S$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{3}\setminus A$? Ist die Menge ${}S$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{3}$? Ist der Abschluss von ${}S$ in ${}\mathbb {R} ^{3}$ eine Mannigfaltigkeit?

Aufgabe *

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

$\Gamma ={\left\{(x,e^{x})\mid x\leq 0\right\}}$

um die ${}x$-Achse rotieren lässt, kleiner als ${}10$ ist.

Aufgabe

Bestätige, dass die in Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 angegebenen Abbildungen ihr Bild auf der Einheitssphäre haben und bis auf eine Nullmenge surjektiv sind.

Aufgabe

Bestimme die (partiell definierten) Umkehrabbildungen zu den in Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 angegebenen Abbildungen.

Aufgabe

Zeige, dass Längenkreise und Breitenkreise auf der Erdkugel senkrecht aufeinander stehen.

Aufgabe

Wie lange ist der ${}30$-ste Breitenkreis auf der Erde (man setze den Erdradius mit ${}6370$ km an).

Aufgabe

Welcher Prozentanteil der Erde wird in einem Moment von der Sonne beschienen (die Sonne soll wegen ihrer großen Entfernung als punktförmig angesetzt werden)?

Aufgabe

Betrachte den Ellipsoid

$M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \ {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\right\}},$

für ${}a,b,c\in \mathbb {R} _{+}$. Berechne den Flächeninhalt von M für ${}a=b$. Was passiert für ${}a\rightarrow c$?

Aufgabe

Bestimme das Infimum und das Supremum der Länge der Bilder der Großkreise auf der in Beispiel 17.6 beschriebenen Karte.

Aufgabe

Bringe Korollar 17.1 und Beispiel 15.10 mit Hilfe von Aufgabe 16.10 miteinander in Verbindung.

Aufgabe

Es sei

$\alpha \colon S^{2}\setminus \{N\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

die stereographische Projektion.

a) Bestime ${}\alpha _{*}\omega$ zur kanonischen Flächenform auf ${}S^{2}$.

b) Berechne mit ${}\alpha _{*}\omega$ den Flächeninhalt der Sphäre.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten den Graphen ${}M$ der Funktion

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y+x^{2},$

als riemannsche Mannigfaltigkeit. Berechne den Flächeninhalt des Graphen oberhalb des Quadrats ${}[-1,1]\times [-1,1]$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$M={\left\{(x,x^{2})\mid x\in \mathbb {R} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$

die Parabel, also der Graph der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$

Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche um die ${}x$-Achse keine Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man stelle eine Kugeloberfläche als Rotationsfläche dar und berechne damit den Inhalt der Kugeloberfläche.

Aufgabe (4 Punkte)

Man stelle einen Torus als Rotationsfläche dar und berechne damit seinen Flächeninhalt.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme den „Abstand“ zwischen Osnabrück und Bangalore (den Erdradius mit ${}6370$ km ansetzen) in den beiden folgenden Sinnen.

a) Entlang der Erdoberfläche (Luftlinie).

b) Durch die Erde (Maulwurfslinie).

Aufgabe (6 Punkte)

Wie lange ist das Bild des ${}30$-sten Breitenkreises auf den in Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 beschriebenen Karten (man setze den Erdradius mit ${}6370$ km an)?