Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 11/kontrolle

Produkte von Mannigfaltigkeiten

Definition Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ . Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ mit den Karten

\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'

(mit ${}(i,j)\in I\times J$ und ${}U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$ ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ .

Es handelt sich dabei in der Tat um eine Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe 11.1. Eine Produktmannigfaltigkeit der Form ${}M\times \mathbb {R}$ nennt man auch Zylinder über ${}M$ . Zu abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{\ell }$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ ist die Produktmannigfaltigkeit ${}M\times N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{\ell }\times \mathbb {R} ^{k}=\mathbb {R} ^{\ell +k}$ , siehe Aufgabe 11.2.

Lemma Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${}M\times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die Projektionen
$p_{1}\colon M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$

und

$p_{2}\colon M\times N\longrightarrow N,\,(x,y)\longmapsto y,$

sind differenzierbare Abbildungen.

Der Tangentialraum in einem Punkt ${}R=(P,Q)$ ist ${}T_{R}(M\times N)=T_{P}M\times T_{Q}N$ .

Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
$\varphi \times \psi \colon L\longrightarrow M\times N,\,u\longmapsto (\varphi (u),\psi (u)),$

genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen ${}\varphi$ und ${}\psi$ differenzierbar sind.

Beweis

(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass ${}M$ und ${}N$ offene Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{m}$ bzw. im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind. In diesem Fall handelt es sich um eine Einschränkung der linearen Projektion ${}\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ , die nach Proposition 45.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) stetig differenzierbar ist.
(2). Die differenzierbaren Projektionen ${}p_{1}\colon M\times N\rightarrow M$ und ${}p_{2}\colon M\times N\rightarrow N$ liefern die linearen Tangentialabbildungen ${}T_{R}(p_{1})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{P}M$ und ${}T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{Q}N$ und damit insgesamt die lineare Abbildung

T_{R}(p_{1})\times T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\longrightarrow T_{P}M\times T_{Q}N.

Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion

p_{1}\times p_{2}\colon \mathbb {R} ^{m+n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}.

(3). Für einen fixierten Punkt ${}A\in L$ kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von ${}A$ und von ${}\varphi (A)$ und ${}\psi (A)$ sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach Aufgabe 45.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.

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Beispiel Referenznummer erstellen

Das Produkt der Kreislinie mit sich selbst, also ${}M=S^{1}\times S^{1}$ , heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}$ realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{3}$ realisieren. Dazu seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$ . Dann ist die Menge

{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}

ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines (aufgeblasenen) „Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich ${}R$ und dessen „Schlauchradius“ gleich ${}r$ ist (das Rad liegt in der $x-y$ -Ebene). Der Zusammenhang mit dem Produkt ${}S^{1}\times S^{1}$ ergibt sich, indem man dem Produktwinkel ${}(\varphi ,\psi )$ den Punkt ${}((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$ zuordnet.

Die Lie-Klammer von Vektorfeldern

Definition Definition 11.4 ändern

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

D\colon C^{1}(M,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(M,\mathbb {R} )

heißt Differentialoperator erster Ordnung, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt.

${}D$ ist ${}\mathbb {R}$ - linear.
Es ist ${}D(fg)=fD(g)+gD(f)$ .

Statt Differentialoperator erster Ordnung sagt man auch Derivation.

Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ sind die partiellen Ableitungen ${}\partial _{i}$ und ${}\partial _{j}$ als Operationen auf zweifach stetig differenzierbaren Funktionen vertauschbar, also

{}\partial _{i}\circ \partial _{j}=\partial _{j}\circ \partial _{i}\,.

Eine Linearkombination

{}V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\,

mit auf ${}U$ definierten reellwertigen Funktionen ${}f_{i}$ kann man als Vektorfeld

U\longrightarrow TU=U\times \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto (P,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)\partial _{i})=(P,f_{1}(P),\ldots ,f_{n}(P)),

und ebenso als Ableitungsoperator

C^{1}(U,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(U,\mathbb {R} ),\,h\longmapsto \sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}h,

auffassen (oder von ${}C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$ nach ${}C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$ ). In diesem Sinne entsprechen sich Vektorfelder und Differentialoperatoren der ersten Ordnung. Differentialoperatoren kann man aber darüber hinaus miteinander verknüpfen, wobei sich herausstellt, dass es auf die Reihenfolge ankommt.

Lemma Lemma 11.5 ändern

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n},h$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf ${}U$ .

Dann gilt

${\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}(h)\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}g_{j}\right)}\partial _{j}h+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}f_{i}g_{j}\partial _{i}\partial _{j}h\,.$

Beweis

Es ist

{}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}(h)\right)}&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{i}(g_{j})\partial _{j}(h)+g_{j}\partial _{i}\partial _{j}(h)\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}g_{j}\right)}\partial _{j}h+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}f_{i}g_{j}\partial _{i}\partial _{j}h.\end{aligned}}

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An dieser expliziten Beschreibung sieht man

{}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\circ {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\neq {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\circ {\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\,,

da zwar der zweite Summand gleich ist, aber nicht der erste. Dies hat auch die folgende Konsequenz.

Lemma Lemma 11.6 ändern

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf ${}U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren ${}D=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$ und ${}E=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$

Dann gilt

${}D\circ E-E\circ D=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}\,.$

Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung ${}1$ und somit einem Vektorfeld.

Beweis

Nach Lemma 11.5 ist

{}{\begin{aligned}D\circ E-E\circ D&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\circ {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}-{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\circ {\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}.\end{aligned}}

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Auf einer Mannigfaltigkeit bezeichnen wir den Differentialoperator zu einem Vektorfeld ${}V$ mit ${}D_{V}$ . Zu einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ ist ${}D_{V}(f)=T(f)\circ V$ . Angewendet auf einen Punkt ${}P\in M$ ist

{}{\left(D_{V}(f)\right)}(P)=T_{P}(f)(V(P))\,.

Entsprechendes gilt für eine auf einer offenen Teilmenge von ${}M$ definierten differenzierbaren Funktion.

Definition Referenznummer erstellen

Es seien ${}V$ und ${}W$ stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer ${}C^{2}$ - differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit den zugehörigen Differentialoperatoren ${}D_{V}$ und ${}D_{W}$ . Dann nennt man das Vektorfeld, das der Hintereinanderschaltung ${}D_{V}\circ D_{W}-D_{W}\circ D_{V}$ entspricht, die Lie-Klammer der beiden Vektorfelder. Sie wird mit ${}[V,W]$ bezeichnet.

Es ist eine Konvention, welche Reihenfolge der Operatoren mit einem Minuszeichen in die Definition eingeht.

Lemma Lemma 11.8 ändern

Es sei ${}M$ eine ${}C^{2}$ - differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt die Lie-Klammer von Vektorfeldern die folgenden Eigenschaften.

Es ist ${}[V,W]=-[W,V]$ .

Es ist ${}[V_{1}+V_{2},W]=[V_{1},W]+[V_{2},W]$ .

Für eine differenzierbare Funktion ${}f$ auf ${}M$ ist
${}[fV,W]=f[V,W]-{\left(D_{W}f\right)}V\,.$