Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 11

Produkte von Mannigfaltigkeiten

Definition

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ . Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ mit den Karten

\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'

(mit ${}(i,j)\in I\times J$ und ${}U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$ ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ .

Es handelt sich dabei in der Tat um eine Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe 11.1. Eine Produktmannigfaltigkeit der Form ${}M\times \mathbb {R}$ nennt man auch Zylinder über ${}M$ . Zu abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{\ell }$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ ist die Produktmannigfaltigkeit ${}M\times N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{\ell }\times \mathbb {R} ^{k}=\mathbb {R} ^{\ell +k}$ , siehe Aufgabe 11.2.

Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${}M\times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die Projektionen
$p_{1}\colon M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$

und

$p_{2}\colon M\times N\longrightarrow N,\,(x,y)\longmapsto y,$

sind differenzierbare Abbildungen.

Der Tangentialraum in einem Punkt ${}R=(P,Q)$ ist ${}T_{R}(M\times N)=T_{P}M\times T_{Q}N$ .

Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
$\varphi \times \psi \colon L\longrightarrow M\times N,\,u\longmapsto (\varphi (u),\psi (u)),$

genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen ${}\varphi$ und ${}\psi$ differenzierbar sind.

Beweis

(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass ${}M$ und ${}N$ offene Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{m}$ bzw. im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind. In diesem Fall handelt es sich um eine Einschränkung der linearen Projektion ${}\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ , die nach Proposition 45.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) stetig differenzierbar ist.
(2). Die differenzierbaren Projektionen ${}p_{1}\colon M\times N\rightarrow M$ und ${}p_{2}\colon M\times N\rightarrow N$ liefern die linearen Tangentialabbildungen ${}T_{R}(p_{1})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{P}M$ und ${}T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{Q}N$ und damit insgesamt die lineare Abbildung

T_{R}(p_{1})\times T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\longrightarrow T_{P}M\times T_{Q}N.

Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion

p_{1}\times p_{2}\colon \mathbb {R} ^{m+n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}.

(3). Für einen fixierten Punkt ${}A\in L$ kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von ${}A$ und von ${}\varphi (A)$ und ${}\psi (A)$ sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach Aufgabe 45.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.

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Beispiel

Das Produkt der Kreislinie mit sich selbst, also ${}M=S^{1}\times S^{1}$ , heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}$ realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{3}$ realisieren. Dazu seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$ . Dann ist die Menge

{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}

ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines (aufgeblasenen) „Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich ${}R$ und dessen „Schlauchradius“ gleich ${}r$ ist (das Rad liegt in der $x-y$ -Ebene). Der Zusammenhang mit dem Produkt ${}S^{1}\times S^{1}$ ergibt sich, indem man dem Produktwinkel ${}(\varphi ,\psi )$ den Punkt ${}((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$ zuordnet.

Die Lie-Klammer von Vektorfeldern

Definition

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

D\colon C^{1}(M,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(M,\mathbb {R} )

heißt Differentialoperator erster Ordnung, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt.

${}D$ ist ${}\mathbb {R}$ - linear.
Es ist ${}D(fg)=fD(g)+gD(f)$ .

Statt Differentialoperator erster Ordnung sagt man auch Derivation.

Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ sind die partiellen Ableitungen ${}\partial _{i}$ und ${}\partial _{j}$ als Operationen auf zweifach stetig differenzierbaren Funktionen vertauschbar, also

{}\partial _{i}\circ \partial _{j}=\partial _{j}\circ \partial _{i}\,.

Eine Linearkombination

{}V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\,

mit auf ${}U$ definierten reellwertigen Funktionen ${}f_{i}$ kann man als Vektorfeld

U\longrightarrow TU=U\times \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto (P,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)\partial _{i})=(P,f_{1}(P),\ldots ,f_{n}(P)),

und ebenso als Ableitungsoperator

C^{1}(U,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(U,\mathbb {R} ),\,h\longmapsto \sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}h,

auffassen (oder von ${}C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$ nach ${}C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$ ). In diesem Sinne entsprechen sich Vektorfelder und Differentialoperatoren der ersten Ordnung. Differentialoperatoren kann man aber darüber hinaus miteinander verknüpfen, wobei sich herausstellt, dass es auf die Reihenfolge ankommt.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n},h$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf ${}U$ .

Dann gilt

${\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}(h)\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}g_{j}\right)}\partial _{j}h+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}f_{i}g_{j}\partial _{i}\partial _{j}h\,.$

Beweis

Es ist

{}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}(h)\right)}&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{i}(g_{j})\partial _{j}(h)+g_{j}\partial _{i}\partial _{j}(h)\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}g_{j}\right)}\partial _{j}h+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}f_{i}g_{j}\partial _{i}\partial _{j}h.\end{aligned}}

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An dieser expliziten Beschreibung sieht man

{}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\circ {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\neq {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\circ {\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\,,

da zwar der zweite Summand gleich ist, aber nicht der erste. Dies hat auch die folgende Konsequenz.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf ${}U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren ${}D=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$ und ${}E=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$

Dann gilt

${}D\circ E-E\circ D=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}\,.$

Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung ${}1$ und somit einem Vektorfeld.

Beweis

Nach Lemma 11.5 ist

{}{\begin{aligned}D\circ E-E\circ D&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\circ {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}-{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\circ {\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}.\end{aligned}}

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Auf einer Mannigfaltigkeit bezeichnen wir den Differentialoperator zu einem Vektorfeld ${}V$ mit ${}D_{V}$ . Zu einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ ist ${}D_{V}(f)=T(f)\circ V$ . Angewendet auf einen Punkt ${}P\in M$ ist

{}{\left(D_{V}(f)\right)}(P)=T_{P}(f)(V(P))\,.

Entsprechendes gilt für eine auf einer offenen Teilmenge von ${}M$ definierten differenzierbaren Funktion.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer ${}C^{2}$ - differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit den zugehörigen Differentialoperatoren ${}D_{V}$ und ${}D_{W}$ . Dann nennt man das Vektorfeld, das der Hintereinanderschaltung ${}D_{V}\circ D_{W}-D_{W}\circ D_{V}$ entspricht, die Lie-Klammer der beiden Vektorfelder. Sie wird mit ${}[V,W]$ bezeichnet.

Es ist eine Konvention, welche Reihenfolge der Operatoren mit einem Minuszeichen in die Definition eingeht.

Lemma

Es sei ${}M$ eine ${}C^{2}$ - differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt die Lie-Klammer von Vektorfeldern die folgenden Eigenschaften.

Es ist ${}[V,W]=-[W,V]$ .

Es ist ${}[V_{1}+V_{2},W]=[V_{1},W]+[V_{2},W]$ .

Für eine differenzierbare Funktion ${}f$ auf ${}M$ ist
${}[fV,W]=f[V,W]-{\left(D_{W}f\right)}V\,.$