Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 11

Produkte von Mannigfaltigkeiten

Definition

Es seien $M$ und $N$ zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten $(U_{i}, {U_{i}}^{'}, α_{i}, i \in I)$ und $(V_{j}, {V_{j}}^{'}, β_{j}, j \in J)$ . Dann nennt man den Produktraum $M \times N$ mit den Karten

α_{i} \times β_{j} : U_{i} \times V_{j} ⟶ {U_{i}}^{'} \times {V_{j}}^{'}

(mit $(i, j) \in I \times J$ und ${U_{i}}^{'} \times {V_{j}}^{'} \subseteq ℝ^{m} \times ℝ^{n}$ ) das Produkt der Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ .

Es handelt sich dabei in der Tat um eine Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe 11.1. Eine Produktmannigfaltigkeit der Form $M \times ℝ$ nennt man auch Zylinder über $M$ . Zu abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten $M \subseteq ℝ^{ℓ}$ und $N \subseteq ℝ^{k}$ ist die Produktmannigfaltigkeit $M \times N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $ℝ^{ℓ} \times ℝ^{k} = ℝ^{ℓ + k}$ , siehe Aufgabe 11.2.

Lemma

Es seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und $M \times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die Projektionen
$p_{1} : M \times N ⟶ M, (x, y) ⟼ x,$

und

$p_{2} : M \times N ⟶ N, (x, y) ⟼ y,$

sind differenzierbare Abbildungen.

Der Tangentialraum in einem Punkt $R = (P, Q)$ ist $T_{R} (M \times N) = T_{P} M \times T_{Q} N$ .

Es sei $L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung
$φ \times ψ : L ⟶ M \times N, u ⟼ (φ (u), ψ (u)),$

genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen $φ$ und $ψ$ differenzierbar sind.

Beweis

(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass $M$ und $N$ offene Teilmengen im $ℝ^{m}$ bzw. im $ℝ^{n}$ sind. In diesem Fall handelt es sich um eine Einschränkung der linearen Projektion $ℝ^{m} \times ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ , die nach Proposition 45.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) stetig differenzierbar ist.
(2). Die differenzierbaren Projektionen $p_{1} : M \times N \to M$ und $p_{2} : M \times N \to N$ liefern die linearen Tangentialabbildungen $T_{R} (p_{1}) : T_{R} (M \times N) \to T_{P} M$ und $T_{R} (p_{2}) : T_{R} (M \times N) \to T_{Q} N$ und damit insgesamt die lineare Abbildung

T_{R} (p_{1}) \times T_{R} (p_{2}) : T_{R} (M \times N) ⟶ T_{P} M \times T_{Q} N .

Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass $M \subseteq ℝ^{m}$ und $N \subseteq ℝ^{n}$ offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion

p_{1} \times p_{2} : ℝ^{m + n} ⟶ ℝ^{m} \times ℝ^{n} .

(3). Für einen fixierten Punkt $A \in L$ kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von $A$ und von $φ (A)$ und $ψ (A)$ sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach Aufgabe 45.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.

◻

Beispiel

Das Produkt der Kreislinie mit sich selbst, also $M = S^{1} \times S^{1}$ , heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da $S^{1} \subset ℝ^{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im $ℝ^{2} \times ℝ^{2} = ℝ^{4}$ realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im $ℝ^{3}$ realisieren. Dazu seien $r$ und $R$ positive reelle Zahlen mit $0 < r < R$ . Dann ist die Menge

{(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ {(\sqrt{x^{2} + y^{2}} - R)}^{2} + z^{2} = r^{2}}

ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines (aufgeblasenen) „Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich $R$ und dessen „Schlauchradius“ gleich $r$ ist (das Rad liegt in der $x - y$ -Ebene). Der Zusammenhang mit dem Produkt $S^{1} \times S^{1}$ ergibt sich, indem man dem Produktwinkel $(φ, ψ)$ den Punkt $((R + r \cos ψ) \cos φ, (R + r \cos ψ) \sin φ, r \sin ψ)$ zuordnet.

Die Lie-Klammer von Vektorfeldern

Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

D : C^{1} (M, ℝ) ⟶ C^{0} (M, ℝ)

heißt Differentialoperator erster Ordnung, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt.

$D$ ist $ℝ$ -linear.
Es ist $D (f g) = f D (g) + g D (f)$ .

Statt Differentialoperator erster Ordnung sagt man auch Derivation.

Zu einer offenen Menge $U \subseteq ℝ^{n}$ sind die partiellen Ableitungen $\partial_{i}$ und $\partial_{j}$ als Operationen auf zweifach stetig differenzierbaren Funktionen vertauschbar, also

\partial_{i} \circ \partial_{j} = \partial_{j} \circ \partial_{i} .

Eine Linearkombination

V = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}

mit auf $U$ definierten reellwertigen Funktionen $f_{i}$ kann man als Vektorfeld

U ⟶ T U = U \times ℝ^{n}, P ⟼ (P, \sum_{i = 1}^{n} f_{i} (P) \partial_{i}) = (P, f_{1} (P), \dots, f_{n} (P)),

und ebenso als Ableitungsoperator

C^{1} (U, ℝ) ⟶ C^{0} (U, ℝ), h ⟼ \sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i} h,

auffassen (oder von $C^{\infty} (U, ℝ)$ nach $C^{\infty} (U, ℝ)$ ). In diesem Sinne entsprechen sich Vektorfelder und Differentialoperatoren der ersten Ordnung. Differentialoperatoren kann man aber darüber hinaus miteinander verknüpfen, wobei sich herausstellt, dass es auf die Reihenfolge ankommt.

Lemma

Es sei $U \subseteq ℝ^{n}$ offen und seien $f_{1}, \dots, f_{n}, g_{1}, \dots, g_{n}, h$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf $U$ .

Dann gilt

$(\sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}) ((\sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j}) (h)) = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i} g_{j}) \partial_{j} h + \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} f_{i} g_{j} \partial_{i} \partial_{j} h .$

Beweis

Es ist

\begin{matrix} (\sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}) ((\sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j}) (h)) & = (\sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j} (h)) \\ = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i} (\sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j} (h)) \\ = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} (\sum_{j = 1}^{n} (\partial_{i} (g_{j}) \partial_{j} (h) + g_{j} \partial_{i} \partial_{j} (h))) \\ = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i} g_{j}) \partial_{j} h + \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} f_{i} g_{j} \partial_{i} \partial_{j} h . \end{matrix}

◻

An dieser expliziten Beschreibung sieht man

(\sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}) \circ (\sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j}) \neq (\sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j}) \circ (\sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}),

da zwar der zweite Summand gleich ist, aber nicht der erste. Dies hat auch die folgende Konsequenz.

Lemma

Es sei $U \subseteq ℝ^{n}$ offen und seien $f_{1}, \dots, f_{n}, g_{1}, \dots, g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf $U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren $D = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}$ und $E = \sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j}$

Dann gilt

$D \circ E - E \circ D = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} (f_{i} \partial_{i} g_{j} - g_{i} \partial_{i} f_{j})) \partial_{j} .$

Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung $1$ und somit einem Vektorfeld.

Beweis

Nach Lemma 11.5 ist

\begin{matrix} D \circ E - E \circ D & = (\sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}) \circ (\sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j}) - (\sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j}) \circ (\sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} (f_{i} \partial_{i} g_{j} - g_{i} \partial_{i} f_{j})) \partial_{j} . \end{matrix}

◻

Auf einer Mannigfaltigkeit bezeichnen wir den Differentialoperator zu einem Vektorfeld $V$ mit $D_{V}$ . Zu einer differenzierbaren Funktion $f : M \to ℝ$ ist $D_{V} (f) = T (f) \circ V$ . Angewendet auf einen Punkt $P \in M$ ist

(D_{V} (f)) (P) = T_{P} (f) (V (P)) .

Entsprechendes gilt für eine auf einer offenen Teilmenge von $M$ definierten differenzierbaren Funktion.

Definition

Es seien $V$ und $W$ stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer $C^{2}$ -differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit den zugehörigen Differentialoperatoren $D_{V}$ und $D_{W}$ . Dann nennt man das Vektorfeld, das der Hintereinanderschaltung $D_{V} \circ D_{W} - D_{W} \circ D_{V}$ entspricht, die Lie-Klammer der beiden Vektorfelder. Sie wird mit $[V, W]$ bezeichnet.

Es ist eine Konvention, welche Reihenfolge der Operatoren mit einem Minuszeichen in die Definition eingeht.

Lemma

Es sei $M$ eine $C^{2}$ -differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt die Lie-Klammer von Vektorfeldern die folgenden Eigenschaften.

Es ist $[V, W] = - [W, V]$ .

Es ist $[V_{1} + V_{2}, W] = [V_{1}, W] + [V_{2}, W]$ .

Für eine differenzierbare Funktion $f$ auf $M$ ist
$[f V, W] = f [V, W] - (D_{W} f) V .$

Beweis

(1) folgt aus der Definition, (2) folgt aus der Beziehung

D_{V_{1} + V_{2}} = D_{V_{1}} + D_{V_{2}}

zwischen Differentialoperatoren und Vektorfeldern. (3). Da die Aussage lokal ist, können wir

V = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i}

und $W = \sum_{j = 1}^{n} g_{j} \partial_{j}$ ansetzen. Dann ist

f V = f \sum_{i = 1}^{n} f_{i} \partial_{i} = \sum_{i = 1}^{n} f f_{i} \partial_{i}

und nach Lemma 11.6 ist

\begin{matrix} [f V, W] & = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} (f f_{i} \partial_{i} g_{j} - g_{i} \partial_{i} (f f_{j}))) \partial_{j} \\ = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} (f f_{i} \partial_{i} g_{j} - g_{i} (f \partial_{i} (f_{j}) + f_{j} \partial_{i} (f)))) \partial_{j} \\ = f \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} (f_{i} \partial_{i} g_{j} - g_{i} \partial_{i} (f_{j}))) \partial_{j} - \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} g_{i} f_{j} \partial_{i} (f)) \partial_{j} \\ = f [V, W] - \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} g_{i} \partial_{i} (f)) f_{j} \partial_{j} \\ = f [V, W] - (\sum_{i = 1}^{n} g_{i} \partial_{i} (f)) (\sum_{j = 1}^{n} f_{j} \partial_{j}) \\ = f [V, W] - D_{W} (f) V . \end{matrix}

◻

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