Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 3/kontrolle
- Krümmung von bogenparametrisierten Kurven
Nach Aufgabe 2.3 besitzt eine zweimal stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve die Eigenschaft, dass die zweite Ableitung stets senkrecht auf der ersten Ableitung steht.
Es sei
eine zweifach stetig differenzierbare Kurve und . Eine naheliegende Möglichkeiten, das Verhalten der Kurve im Punkt bzw. über die Tangente hinaus zu approximieren besteht darin, einen Kreis anzugeben, der sich an die Kurve besonders gut anschmiegt, bzw. eine Kreisbewegung anzugeben, die bis zur zweiten Ableitung mit der Kurve übereinstimmt. Die Kurve sei bogenparametrisiert.
Definition Referenznummer erstellen
Es sei
eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und , wobei die zweite Ableitung nicht sei. Dann nennt man den Kreis mit dem Radius
und dem Mittelpunkt
den Krümmungskreis zu in .
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Es sei
eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und . Dann nennt man
die Krümmung der Kurve in .
Statt Krümmungskreis sagt man auch Schmiegkreis. Da im bogenparametrisierten Fall und senkrecht aufeinander stehen und die zweite Ableitung nicht ist, bilden diese Vektoren eine Basis des und daher ist ihre Determinante, die ja als Nenner in der Definition des Krümmungskreises auftritt, nicht . Wenn diese Determinante (und damit die Krümmung) positiv ist, so repräsentiert diese Basis die Standardorientierung (also die Orientierung, die durch die Standardvektoren und ) gegeben ist, andernfalls die Gegenorientierung. Bei positiver Krümmung wird die Bewegung (von der tangentialen Richtung aus gesehen) nach links abgelenkt, bei negativer Krümmung nach rechts. Bei positiver Krümmung kann man den Mittelpunkt des Krümmungskreises als
und bei negativer Krümmung als
beschreiben. Gemäß Aufgabe 3.1 besitzt die umgekehrt durchlaufene Kurve die negierte Krümmung. Gelegentlich werden wir auch von der Krümmung der Kurve im Punkt sprechen, was bei einer Kurve, die injektiv ist oder allenfalls periodisch mehrfach durchlaufen wird, unproblematisch ist.
Beispiel Referenznummer erstellen
Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also
Es ist
und
Die Krümmung zu jedem Zeitpunkt ist
der Krümmungsradius ist und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist
der Krümmungskreis ist also stets der Einheitskreis.
Wenn man den Kreis mit dem Uhrzeigersinn durchläuft, also die Kurve
betrachtet, so ist die Krümmung gleich , Krümmungsradius und Krümmungskreis sind wie zuvor.
Die Definition des Krümmungskreises kann man bereits dann verwenden, wenn die Norm (also nur für ) besitzt, ohne dass eine bogenparametrisierte Kurve vorliegt, wenn man fordert, dass und linear unabhängig sind. Wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind, so sagt man auch, dass der Krümmungsradius unendlich ist.
Beispiel Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Standardparabel als Kurve
im Nullpunkt . Es ist
Dies ist im Allgemeinen nicht bogenparametrisiert, im Nullpunkt aber schon. Die zweite Ableitung ist
unabhängig vom Zeitpunkt. Daher ist der Krümmungsradius gleich
und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist .
Lemma Lemma 3.6 ändern
Es sei
eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und mit
mit dem Krümmungskreis mit Mittelpunkt und Radius . Wenn die Standardorientierung repräsentiert, so sei derart, dass
Wenn nicht die Standardorientierung repräsentiert, so sei derart, dass
Dann ist (im standardorientierten Fall)
bzw. (im nichtstandardorientierten Fall)
eine bogenparametrisierte Bewegung auf dem Krümmungskreis, die in mit bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.
Beweis
Wir betrachten den standardorientierten Fall. Es ist
Ferner ist
insbesondere ist bogenparametrisiert. Es steht senkrecht auf und ist daher linear abhängig zu dem Orthonormalvektor . Somit ist
und daher
Die folgende Aussage zeigt, dass man jeden gewünschten Krümmungsverlauf durch eine Kurve realisieren kann.
Lemma Referenznummer erstellen
Es sei ein Intervall, und
eine differenzierbare Funktion. Es sei
- Es ist
- Es ist
ist eine zweifach differenzierbare bogenparametrisierte ebene Kurve.
- Es ist
- Die
Krümmung
ist
Beweis
(1) ist klar. (2) ergibt sich direkt aus dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Damit sind auch (3) und (4) klar, wobei sich die Bogenparametrisierung aus ergibt. (5). Für die Krümmung ist
Lemma Lemma 3.8 ändern
Es sei eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve.
Dann ist die Krümmung von in gleich
wobei
ein Einheitsnormalenvektor in ist.
Beweis
Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition
Aus
folgt
daher steht senkrecht auf und ist linear abhängig zu . Somit ist
und somit ist
In der vorstehenden Aussage ist das Vorzeichen positiv, wenn die Kurve positiv gekrümmt ist, andernfalls negativ. Entscheidend ist nicht die explizite Beschreibung des Einheitsnormalenfeldes, sondern ob der Tangentenvektor und der Einheitsnormalenvektor die Standardorientierung repräsentiert oder nicht.
Wir erwähnen noch die folgende Definition.
Definition Referenznummer erstellen
Es sei eine zweifach stetig differenzierbare Kurve mit für alle . Dann nennt man die Abbildung
die auf den Mittelpunkt des Krümmungskreises zu in abbildet, die Evolute zu .
- Krümmung von Kurven allgemein
Wir besprechen die Krümmung von ebenen Kurven, die nicht notwendigerweise bogenparametrisiert sind und von implizit gegebenen ebenen Kurven. Zu einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve
mit für alle und einem fixierten Punkt ist
nach Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die Bogenlänge von zwischen und . Die Zuordnung
ist dabei streng wachsend und stetig differenzierbar. Es sei das Bildintervall, die Umkehrfunktion zu und . Dann ist unter Verwendung von Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
was bedeutet, dass bogenparametrisiert ist. Den Übergang von zu nennt man Bogenparametrisierung, dabei wird die Bildkurve nicht geändert, nur die Geschwindigkeit, mit der sie durchlaufen wird. Es liegt das kommutative Diagramm
vor.
Lemma Lemma 3.10 ändern
Es sei eine zweimal stetig differenzierbare Kurve mit für alle . Es sei
Dann ist die Krümmung der zugehörigen bogenparametrisierten Kurve gleich
Beweis
Wegen
stimmen die beiden Terme überein. Es sei
mit einer Umparametrisierung und der bogenparametrisierten Kurve . Dann ist
Im Fall einer implizit gegebenen Kurve
und einem Punkt
schreiben wir auch statt , wenn eine Bogenparametrisierung der Kurve mit
vorliegt.
Lemma Lemma 3.11 ändern
Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei
ein auf einer offenen Umgebung definiertes Einheitsnormalenfeld zu und sei .
Dann ist für jeden tangentialen Vektor
wobei die Krümmung einer Bogenparametrisierung von ist, die mit der durch gegebenen Orientierung übereinstimmt.
Beweis
Es sei eine Bogenparametrisierung der Kurve in einer Umgebung von mit , die mit der gegebenen Orientierung übereinstimmt. Das totale Differential
ist linear, daher genügt es, die Aussage für den Vektor zu zeigen. Nach der Kettenregel ist
Dieser Vektor ist ein Vielfaches von und daher ist dies gleich
Wegen der Orthogonalitätsbedingung ist
für alle und daher
Also ist
nach Lemma 3.8.