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Kurs:Elementare Algebra/8/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Monoid .
  2. /Definition/Begriff
  3. /Definition/Begriff
  4. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  5. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  6. /Definition/Begriff


Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Monoid .
  2. /Definition/Begriff
  3. /Definition/Begriff
  4. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  5. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  6. /Definition/Begriff


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
  2. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
  3. /Fakt/Name


Lösung

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
  2. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
  3. /Fakt/Name


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.


Lösung

Es seien , . Wir betrachten den Quotienten

Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also . Es gibt ganze Zahlen mit . Damit ist

mit . Ferner ist

Multiplikation mit ergibt

Der rechte Summand gehört dabei zu , da man ihn als schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung