Kurs:Elementare Algebra/8/Klausur mit Lösungen
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Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 0 | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 11 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Monoid .
- /Definition/Begriff
- /Definition/Begriff
- Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
- Ein
Ringhomomorphismus
zwischen Ringen und .
- /Definition/Begriff
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Monoid .
- /Definition/Begriff
- /Definition/Begriff
- Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
- Ein
Ringhomomorphismus
zwischen Ringen und .
- /Definition/Begriff
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
- Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
- /Fakt/Name
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
- Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
- /Fakt/Name
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.
Es seien , . Wir betrachten den Quotienten
Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also . Es gibt ganze Zahlen mit . Damit ist
mit . Ferner ist
Multiplikation mit ergibt
Der rechte Summand gehört dabei zu , da man ihn als schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)