Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 13/kontrolle

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Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.


Aufgabe Aufgabe 13.3 ändern

Es seien Ringe. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Die Identität ist ein Ringhomomorphismus.
  2. Sind und Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Ringhomomorphismus.
  3. Ist ein Unterring, so ist die Inklusion ein Ringhomomorphismus.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und sei der kanonische Homomorphismus. Zeige, dass die Charakteristik von der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Integritätsbereich der Charakteristik . Zeige, dass die Ordnung von jedem Element , , ebenfalls ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch definierte Einsetzungshomomorphismus von nach injektiv ist und dass der durch erzeugte Unterring isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring und der Nullring. Bestimme die Ringhomomorphismen von nach und die Ringhomomorphismen von nach .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Körperautomorphismen von .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei ein Ring und seien und zwei Mengen mit den in Aufgabe 2.9 konstruierten Ringen und . Zeige, dass eine Abbildung einen Ringhomomorphismus

induziert.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper, ein Ring mit und

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein kommutativer Ring der Charakteristik . Zeige, dass die Ordnung von jedem Element , , ein Teiler von ist.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Berechne das Bild des Polynoms unter dem durch definierten Einsetzungshomomorphismus .


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom genau dann irreduzibel ist, wenn das um „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in die Variable durch ersetzt) irreduzibel ist.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei eine Primzahl. Zeige, dass

ist für alle .


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.



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