Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe

a) Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$ eine Untergruppe von ${}R$ ist.

b) Zeige, dass für ${}R=\mathbb {Z}$ die Begriffe Untergruppe und Ideal zusammenfallen.

c) Man gebe eine Beispiel für einen kommutativen Ring ${}R$ und eine Untergruppe ${}U\subseteq R$, die kein Ideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}d\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge

${\left\{P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]\mid a_{0}=a_{1}=\ldots =a_{d}=0\right\}}$

ein Ideal in ${}K[X]$ ist. Ist es ein Hauptideal?

Aufgabe *

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ das Ideal ${}(X,Y)$ kein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}{\mathfrak {a}}_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Idealen. Zeige, dass der Durchschnitt ${}\bigcap _{j\in J}{\mathfrak {a}}_{j}$ wieder ein Ideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$. Zeige folgende Aussagen.

1. Das Element ${}a$ ist ein Teiler von ${}b$ (also ${}a{|}b$), genau dann, wenn ${}(b)\subseteq (a)$.
2. ${}a$ ist eine Einheit genau dann, wenn ${}(a)=R=(1)$.
3. Jede Einheit teilt jedes Element.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ und

${}{\mathfrak {b}}=(a_{1})\cap (a_{2})\cap \ldots \cap (a_{k})\,$

der Durchschnitt der zugehörigen Hauptideale und ${}r\in R$. Zeige, dass ${}r$ ein gemeinsames Vielfaches von ${}a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$ genau dann ist, wenn ${}(r)\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von Hauptidealen wieder ein Hauptideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ die Menge aller Ideale in ${}R$, die wir mit den beiden Verknüpfungen Summe von Idealen und Produkt von Idealen versehen. Welche Ringaxiome gelten dafür?

Aufgabe *

Es seien ${}I$ und ${}J$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit

${}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$

Ein homogenes Polynom ${}P\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist ein Polynom, bei dem alle beteiligten Monome den gleichen Summengrad besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}P=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ der Polynomring darüber in ${}m$ Variablen. Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{m})$ das von den Variablen erzeugte Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {m}}^{n}=P_{\geq n}$ ist, wobei ${}P_{\geq n}$ das Ideal in ${}P$ bezeichnet, das von allen homogenen Polynomen vom Grad ${}\geq n$ erzeugt wird.

Aufgabe

Bestimme für ${}\mathbb {Z}$ die Radikale, die Primideale und die maximalen Ideale.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ das Radikal zum Ideal ${}\mathbb {Z} 27$.

Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}0\neq p\in R$ keine Einheit. Dann ist ${}p$ genau dann ein Primelement, wenn das von ${}p$ erzeugte Ideal ${}(p)\subset R$ ein Primideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und ${}P=aX+b$ ein lineares Polynom ($a\neq 0$). Zeige, dass das Hauptideal maximal ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X,Y]$ der Polynomring über ${}K$ und ${}a,b\in K$ zwei Elemente. Zeige, dass die Menge

${}{\mathfrak {m}}={\left\{P\in K[X,Y]\mid P(a,b)=0\right\}}\,$

ein maximales Ideal in ${}K[X,Y]$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring ${}\mathbb {Z} [X]$ das Ideal ${}(X,5)$ kein Hauptideal ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass die Potenzen ${}{\mathfrak {a}}^{n},\,n\in \mathbb {N} _{+}$, alle dasselbe Radikal besitzen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}\neq R$ ein Ideal in ${}R$. Zeige: ${}{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem ${}g\in R$, ${}g\not \in {\mathfrak {a}}$, ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ein ${}r\in R$ gibt mit ${}rg+f=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ ein Primideal ist.