Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 8

Hauptidealbereiche

Die Summe von Hauptidealen und der Durchschnitt von Hauptidealen ist wieder ein Ideal, aber im Allgemeinen kein Hauptideal. Damit hängt zusammen, dass weder ein größter gemeinsamer Teiler noch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von Elementen ${}a,b\in R$ existieren muss. Eine besondere Situation liegt daher vor, wenn überhaupt jedes Ideal ein Hauptideal ist. Dies trifft auf ${}\mathbb {Z}$ und auf ${}K[X]$ (${}K$ ein Körper) zu.

Definition

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.

Euklidische Bereiche sind Hauptidealbereiche

Satz

Ein euklidischer Bereich ist ein Hauptidealbereich.

Beweis

Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

${\left\{\delta (a)\mid a\in I,\,a\neq 0\right\}}.$

Diese Menge hat ein Minimum ${}m$, das von einem Element ${}b\in I,\,b\neq 0$, herrührt, sagen wir ${}m=\delta (b)$. Wir behaupten, dass ${}I=(b)$ ist. Dabei ist die Inklusion „${}\supseteq$“ klar. Zum Beweis der Inklusion „${}\subseteq$“ sei ${}a\in I$ gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt ${}a=qb+r$ mit ${}r=0$ oder ${}\delta (r)<\delta (b)$. Wegen ${}r\in I$ und der Minimalität von ${}\delta (b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist ${}r=0$ und ${}a$ ist ein Vielfaches von ${}b$.

$\Box$

Die beiden folgenden Sätze folgen direkt aus Satz 8.2, da sowohl ${}\mathbb {Z}$ als auch ${}K[X]$ euklidische Bereiche sind. Wir geben zusätzlich noch jeweils einen spezifischen Beweis an.

Satz

Ein Polynomring über einem Körper

ist ein Hauptidealbereich.

Beweis

Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge

${\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.$

Diese Menge hat ein Minimum ${}m\in \mathbb {N}$, das von einem Element ${}F\in I$, ${}F\neq 0$, herrührt, sagen wir ${}m=\operatorname {grad} \,(F)$. Wir behaupten, dass ${}I=(F)$ ist. Die Inklusion ${}\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von ${}\subseteq$ sei ${}P\in I$ gegeben. Aufgrund von Satz 5.3 gilt

$P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.$

Wegen ${}R\in I$ und der Minimalität von ${}\operatorname {grad} \,(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist ${}R=0$ und ${}P$ ist ein Vielfaches von ${}F$.

$\Box$

Satz

Der Ring ${}\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen

ist ein Hauptidealbereich.

Beweis

Zunächst ist ${}\mathbb {Z}$ ein Integritätsbereich. Es sei ${}I\subseteq \mathbb {Z}$ ein Ideal. Damit ist ${}I$ insbesondere eine (additive) Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ und hat nach Satz 5.2 die Gestalt ${}I=\mathbb {Z} d$. Damit handelt es sich um ein Hauptideal.

$\Box$

Teilbarkeitslehre in Hauptidealbereichen

Die folgende Aussage heißt Lemma von Bezout.

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler ${}d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit ${}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der ${}1$.

Beweis

Es sei ${}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element ${}d$ mit ${}I=(d)$. Wir behaupten, dass ${}d$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ ist. Die Inklusionen ${}(a_{i})\subseteq I=(d)$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei ${}e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$. Dann ist wieder ${}(d)=I\subseteq (e)$, was wiederum ${}e{|}d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus ${}d\in I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$.

Im teilerfremden Fall ist ${}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})=R$.

$\Box$

Die folgende Kurzform wird auch oft als Lemma von Bezout bezeichnet.

Korollar

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und seien ${}a,b\in R$ teilerfremde Elemente.

Dann kann man die ${}1$ als Linearkombination von ${}a$ und ${}b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 8.5.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Lemma von Euklid.

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

Beweis

Da ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass ${}a$ das Produkt ${}bc$ teilt, schreiben wir als ${}bc=da$. Damit gilt

${}c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$

was zeigt, dass ${}c$ ein Vielfaches von ${}a$ ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Lemma 6.7 stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt ${}p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass ${}p$ das Produkt ${}ab$ teilt, sagen wir ${}pc=ab$. Nehmen wir an, dass ${}a$ kein Vielfaches von ${}p$ ist. Dann sind aber ${}a$ und ${}p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette ${}(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von ${}p$ widerspricht. Damit teilt ${}p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor ${}b$.

$\Box$

Lemma

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit ${}a\neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

Beweis

Angenommen, jede Zerlegung ${}a=p_{1}\cdots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette ${}a_{1}=a,a_{2},a_{3},\ldots$, wobei ${}a_{n+1}$ ein nicht-trivialer Teiler von ${}a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

${}(a_{1})\subset (a_{2})\subset (a_{3})\subset \cdots \,.$

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe 7.5 ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

$\Box$

Euklidischer Algorithmus

Definition

Es seien Elemente ${}a,b$ (mit $b\neq 0$) eines euklidischen Bereichs ${}R$ mit euklidischer Funktion ${}\delta$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

Satz

Es seien zwei Elemente ${}r_{0}=a,r_{1}=b\neq 0$ eines euklidischen Bereiches ${}R$ mit euklidischer Funktion ${}\delta$ gegeben. Dann besitzt die Folge ${}r_{i}$, ${}i=0,1,2,\ldots$, der euklidischen Reste folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}r_{i+2}=0{\text{ oder }}\delta (r_{i+2})<\delta (r_{i+1})$.
2. Es gibt ein (minimales) ${}k\geq 2$ mit ${}r_{k}=0$.
3. Es ist

   ${}\operatorname {ggT} (r_{i+1},r_{i})=\operatorname {ggT} (r_{i},r_{i-1})\,.$

4. Es sei ${}k\geq 2$ der erste Index derart, dass ${}r_{k}=0$ ist. Dann ist

   ${}\operatorname {ggT} (a,b)=r_{k-1}\,.$

Beweis

1. Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
2. Solange ${}r_{i}\neq 0$ ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen ${}\delta (r_{i})$ immer kleiner, sodass irgendwann der Fall ${}r_{i}=0$ eintreten muss.
3. Wenn ${}t$ ein gemeinsamer Teiler von ${}r_{i+1}$ und von ${}r_{i+2}$ ist, so zeigt die Beziehung

   ${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,,$

   dass ${}t$ auch ein Teiler von ${}r_{i}$ und damit ein gemeinsamer Teiler von ${}r_{i+1}$ und von ${}r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.

4. Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette

   ${}\operatorname {ggT} (a,b)=\operatorname {ggT} (b,r_{2})=\operatorname {ggT} (r_{2},r_{3})=\ldots =\operatorname {ggT} (r_{k-2},r_{k-1})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},r_{k})=\operatorname {ggT} (r_{k-1},0)=r_{k-1}\,.$

$\Box$

Mit dem euklidischen Algorithmus berechnet man also einen größten gemeinsamen Teiler. Indem man die im Algorithmus auftretenden Gleichungen von hinten nach vorne verwendet, erhält man auch eine Darstellung eines größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination von ${}a$ und ${}b$.

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