Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 20/kontrolle

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in dieser Vorlesung besprechen wir zwei esentliche Hilfsmittel zum Beweis des Satzes von Mordell-Weil, nämlich die sogenannten (schwachen) Höhenfunktionen auf einer kommutativen Gruppe, mit denen man die endliche Erzeugtheit der Gruppe nachweisen kann, und die Beträge auf Zahlkörpern, mit denen man auf dem projektiven Raum und dann auch auf elliptischen Kurven Höhenfunktionen konstruieren kann.



Höhenfunktionen auf einer Gruppe

Definition  Referenznummer erstellen

Es sei eine kommutative Gruppe und sei

eine Funktion. Wir nennen eine schwache Höhenfunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Zu gibt es eine reelle Zahl derart, dass

    für alle gilt.

  2. Es gibt eine natürliche Zahl und eine Konstante derart, dass

    für alle gilt.

  3. Für jede Schranke ist die Menge

    endlich.

Wenn man die Rolle des aus Teil (2) betonen möchte, so spricht man von einer schwachen Höhenfunktion für die -Vervielfachung.


Beispiel  Beispiel 20.2 ändern

Auf dem induzierte jede Norm auf über eine schwache Höhenfunktion. Die Endlichkeitsbedingung (3) ist klar (man denke etwa an die Maximumsnorm). Die Dreiecksabschätzung ergibt

wobei die letzte Abschätzung darauf beruht, dass bei fixiertem bis auf endlich viele Ausnahmen gilt. In der Eigenschaft (2) gilt Gleichheit mit ,




Lemma  Lemma 20.3 ändern

Es sei eine kommutative Gruppe und sei eine fixierte natürliche Zahl.

Dann ist genau dann endlich erzeugt, wenn eine schwache Höhenfunktion für die -Vervielfachung besitzt und die Restklassengruppe endlich ist.

Beweis  

Sei zunächst endlich erzeugt. Dann ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

mit einer endlichen Torsionsgruppe . Wir betrachten

Dann ergibt jede Norm auf im Quadrat genommen eine schwache Höhenfunktion auf , siehe Beispiel 20.2. Ferner ist

endlich.

Zum Beweis der Umkehrung sei eine schwache Höhenfunktion gegeben und sei ein Repräsentantensystem für die nach Voraussetzung endliche Restklassengruppe . Zu jedem gibt es eine reelle Zahl derart, dass

für alle . Wir setzen

wobei von der zweiten Eigenschaft einer schwachen Höhenfunktion herrührt. Zu jedem gibt es ein mit in , daher gibt es ein mit in . Dabei gilt

Die Konstruktion

können wir iterieren, wir setzen ,

etc. Dabei gilt die rekursive Abschätzung

und somit unter Verwendung der geometrischen Reihe

Für hinreichend groß ist somit

Es ist daher

mit gewissen und somit ist insgesamt die endliche Menge

ein Erzeugendensystem der Gruppe.



Bewertungen und Beträge auf einem Zahlkörper

Definition  Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper. Eine Funktion

heißt Betrag (oder Absolutbetrag) auf , wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist genau dann, wenn ist.
  3. Es ist
  4. Es ist

Beispielsweise ist der übliche Betrag auf den rationalen oder reellen oder komplexen Zahlen ein Absolutbetrag in diesem Sinne.


Beispiel  Referenznummer erstellen

Es sei ein Zahlkörper und sei eine reelle oder komplexe Einbettung. Dann induziert der gewöhnliche Betrag einen Betrag auf .


Zu einer komplexen Einbettung definiert dabei die konjugiert-komplexe Einbettung den gleichen Betrag auf .

Mit der Festlegung

wird ein Körper mit einem Betrag zu einem metrischen Raum, siehe Aufgabe 20.2.

Zu einem Primideal in einem Zahlbereich zu einer endlichen Körpererweiterung ist nach Korollar 22.18 (Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)) ein diskreter Bewertungsring und die zugehörige Ordnung

besitzt die Eigenschaften

  1. .
  2. . Häufig setzt man



Lemma  Lemma 20.6 ändern

Es sei ein Zahlbereich, ein maximales Ideal und die zugehörige Bewertung auf .

Dann ist zu einer reellen Zahl durch

ein Betrag auf gegeben (hierbei ist als zu interpretieren).

Beweis  

Die drei ersten Eigenschaften eines Betrages folgen unmittelbar aus grundlegenden Gesetzen, siehe Lemma 27.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) und Lemma 27.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)). Die Dreiecksabschätzung folgt aus



Definition  Referenznummer erstellen

Ein Betrag

auf einem Körper heißt archimedisch, wenn die Menge in nicht beschränkt ist.

Ein Betrag ist genau dann nichtarchimedisch, wenn die Dreiecksabschäzung in der verschärften Form

gilt, siehe Aufgabe 20.9. In Lemma 20.6 wurde mitbewiesen, dass die Beträge, die von einer Bewertung herrühren, nichtarchimedisch sind.

Bemerkung   Bemerkung 20.8 ändern

Die gewählte Basis in Lemma 20.6 spielt dabei für die topologischen Eigenschaften des Betrags keine wesentliche Rolle. Um aber ein sinnvolles funktorielles (bezüglich von endlichen Körpererweiterungen) Verhalten zu erhalten, sind verschiedene Normierungen sinnvoll. Die wichtigsten Möglichkeiten sind die folgenden, wobei wir die Notation von Lemma 20.6 übernehmen und wobei die Norm von bezeichnet, also die Anzahl der Elemente im Restklassenkörper .

  1. Dies ist wohl der natürlichste Betrag.

  2. wobei den Verzweigungsindex und Trägheitsgrad von über bezeichnet. Diese Normierung besitzt den Vorteil, dass die Einschränkung dieses Betrages auf den nichtarchimedischen Standardbetrag

    ergibt, es sich also um eine Ausdehnung eines rationalen Standardbetrages handelt. Mit in , , , ist ja und und somit

    Zwischen dem natürlichen Betrag aus (1) und dem Standardbetrag aus (2) besteht somit insbesondere der Zusammenhang

    wobei wir eben

    setzen. Diese Zahl stimmt mit dem sogenannten lokalen Grad überein.

  3. Der absolute Betrag ist

    Diese Normierung berücksichtigt, dass über dem Primideal aus in mehrere Primideale liegen, die jeweils zu Beträgen in Anlass geben und sich sozusagen der eine standardisierte Betrag auf mehrere Beträge verteilt. Nach Satz 20.4 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)) gilt dabei

    Somit ist, wieder mit wie oben,



Definition  Referenznummer erstellen

Unter versteht man die Menge bestehend aus dem archimedischen Standardbetrag

und aus den Beträgen zu jeder Primzahl , die durch

gegeben sind.


Definition  Referenznummer erstellen

Es sei ein Zahlkörper. Mit bezeichnet man die Menge der Beträge auf , deren Einschränkung auf mit einem rationalen Standardbetrag übereinstimmt.

Man spricht von den Standardbeträgen auf . Die hat unter jedem Standardbetrag den Wert . Das gleiche gilt für jede Einheit aus dem Ring der ganzen Zahlen zu .


Definition  Referenznummer erstellen

Zu einer endlichen Körpererweiterung und einem Betrag nennt man den Grad der Körpererweiterung der Komplettierungen den lokalen Grad in .

Zu schreibt man auch

wobei den lokalen Grad bezeichnet. Für einen nichtarchimedischen Betrag zu einem Primideal (aus dem Zahlbereich zu ) über ist das Produkt aus Trägheitsgrad, also dem Grad der Körpererweiterung

und dem Verzweigungsindex von

Bei einem archimedischen Betrag ist der lokale Grad im reellen und im komplexen Fall.