Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 7
- Übungsaufgaben
Es sei eine komplexe Zahl, . Beweise für durch Induktion die Beziehung
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
Bestimme eine beschreibende Potenzreihe für die komplexe Invertierung im Entwicklungspunkt mit Hilfe von Satz 7.3.
Es seien
zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch
gegeben ist.
Es sei
eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der dritten Potenz
Es sei
eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der vierten Potenz
Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)
Zeige, dass die Funktionen
und
für folgende Eigenschaften erfüllen.
- Für
ist
Speziell gilt die eulersche Formel
- Es ist und .
- Es ist und .
- Es ist
und
- Es gelten die Additionstheoreme
und
- Es gilt
Zeige, dass die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion in die folgenden Periodizitätseigenschaften erfüllen.
- Es ist und für alle .
- Es ist und für alle .
- Es ist und für alle .
- Es ist , , und . Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form , .
- Es ist , , , und . Die Nullstellen des Sinus sind von der Form , .
Bestimme die Koeffizienten bis zu in der Produktreihe aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.
Bestimme für die geometrische Reihe die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die Funktionen und , derart dass
gilt. Vergleiche das Ergebnis mit der Zerlegung der rationalen Funktion .
Es sei eine Folge in . Es sei eine nichtleere Menge und die konstante Funktion mit dem Wert . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- Die Folge ist konvergent.
- Die Funktionenfolge ist punktweise konvergent.
- Die Funktionenfolge ist gleichmäßig konvergent.
Es sei eine endliche Menge und sei
eine Funktionenfolge auf . Zeige, das genau dann punktweise konvergiert, wenn gleichmäßig konvergiert.
Es sei eine konvergente Folge in . Wir betrachten auf einem reellen Intervall die Funktionenfolge
Zeige, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, und bestimme die Grenzfunktion.
Es sei eine konvergente Folge in . Wir betrachten die Funktionenfolge
Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
Es sei eine Menge und eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge
zu . Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion.
- Die Konvergenz ist genau dann gleichmäßig, wenn beschränkt ist.
Es sei eine Funktion, wir betrachten die Funktionenfolge , die durch
definiert ist.
- Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise gegen konvergiert.
- Charakterisiere die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge.
Zu betrachten wir die Funktionen
die durch
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionen stetig sind, und dass diese Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.
Es sei eine Menge und es seien
Funktionenfolgen mit
für alle und alle . Die Funktionenfolgen und seien gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion . Zeige, dass auch gleichmäßig gegen konvergiert.
Man gebe ein Beispiel einer Funktionenfolge
derart, dass sämtliche nicht stetig sind, die Funktionenfolge aber gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion konvergiert.
Wir betrachten für die Funktionenfolge auf mit
- Berechne die Funktionswerte für
und für .
- Skizziere die Funktionen und auf dem Intervall .
- Begründe, dass die nicht stetig sind.
- Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?
- Zeige, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.
Betrachte die Funktionenfolge
Zeige, dass diese Folge für punktweise konvergiert, und untersuche die Folge auf gleichmäßige Konvergenz für die verschiedenen Definitionsmengen
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Zeige, dass gleichmäßig stetig ist.
Es sei eine Menge und seien
und
zwei gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen. Zeige, dass auch die Summenfolge
gleichmäßig konvergent ist.
Es sei eine Menge und
die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass ein komplexer Vektorraum ist.
Beweise den Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge
Zeige, dass die Exponentialreihe auf nicht gleichmäßig konvergiert.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine komplexe Potenzreihe mit . Bestimme für die Zerlegung in Realteil und Imaginärteil, d.h. bestimme die reellwertigen Funktionen und , derart dass
gilt. In welchem Sinne ist dabei diese Gleichheit zu verstehen?
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)
- Zerlege
in Realteil und Imaginärteil.
- Bestätige die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für Real- und Imaginärteil aus Teil (1).
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Zeige, dass dann gleichmäßig stetig ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Menge und
die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf . Zeige, dass die Supremumsnorm auf folgende Eigenschaften erfüllt.
- für alle .
- genau dann, wenn ist.
- Für und gilt
- Für gilt
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei und sei für jedes eine konvergente Folge
in gegeben, deren Limes mit bezeichnet sei. Wir betrachten die Folge von Polynomen vom Grad , die durch
definiert sind. Zeige, dass diese Funktionenfolge auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe gleichmäßig gegen
konvergiert.
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