Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/16/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 2 1 5 4 7 3 3 5 5 5 3 5 7 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Linearkombination zu Vektoren im .
  2. Die Matrizenmultiplikation.
  3. Die Transitivität einer Relation auf einer Menge .
  4. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  5. Ein vollständig angeordneter Körper .
  6. Die Unabhängigkeit von Ereignissen

    in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum .


Lösung

  1. Eine Summe

    mit Skalaren nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.

  2. Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.

  3. Die Relation heißt transitiv, wenn aus und stets folgt.
  4. Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  5. Ein angeordneter Körper heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert.
  6. Die Ereignisse und heißen unabhängig, wenn

    ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe zu einem Ideal in einem kommutativen Ring .
  2. Der Satz über die Intervallschachtelung.
  3. Das Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf.


Lösung

  1. Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und die Quotientenmenge zur durch definierten Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion

    Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf derart, dass ein Ringhomomorphismus

    ist.
  2. Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Dann besteht der Durchschnitt
    aus genau einem Punkt .
  3. Zu jedem konvergiert die Folge
    gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.


Lösung

Wir rechnen

und

Somit ist

Daraus ergibt sich , aus ergibt sich und aus ergibt sich .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung mit

und

Berechne .


Lösung

Es ist


Aufgabe (1 Punkt)

3-simplex graph.svg

Bei einem vollständigen ungerichteten Graphen mit Ecken ist jede Ecke mit jeder (anderen) Ecke verbunden. Zeichne einen solchen Graphen in der Ebene ohne Überschneidungen.


Lösung

3-demicube t0 B3.svg


Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

  1. Gibt es eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  2. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , , und Primzahlen sind?
  3. Gibt es mehr als eine Primzahl derart, dass auch , und Primzahlen sind?


Lösung

  1. Die Zahlen sind Primzahlen.
  2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von bei Division durch . Wenn der Rest von ist, so sind die anderen Reste gleich . Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest besitzen, also ein Vielfaches von sein. Da ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein.
  3. Die Zahlen sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder stets eine nichtkonstante Folge entsteht.


Lösung

Wir berechnen

Dabei ergibt sich die Wertetabelle

Egal mit welchem Startglied man beginnt, spätestens ab ist man bei oder bei und diese beiden Zahlen wechseln sich dann ab.


Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

  1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
  2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen und , , derart, dass gegen konvergiert, aber nicht konvergiert.
  3. Es seien und reelle Folgen derart, dass gegen konvergiert. Es gebe ein mit

    für alle . Zeige, dass gegen konvergiert.


Lösung

  1. Es sei

    und

    für . Dann ist

    Dies konvergiert gegen . Die Differenzfolge

    konvergiert nicht.

  2. Es sei

    und

    Dann ist

    Dies konvergiert nicht. Die Differenzfolge

    konvergiert gegen , da beide Folgen Nullfolgen sind.

  3. Wir schreiben

    wobei nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Damit ist

    Dabei ist

    eine Nullfolge. Somit konvergiert die Quotientenfolge gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den Konzepten Terme und Polynome.


Lösung Polynom und Term/Diskussion/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es gibt ein Polynom , , mit ganzzahligen Koeffizienten und mit .
  2. Es gibt ein Polynom , , mit .
  3. Es gibt ein normiertes Polynom mit .


Lösung

Die Implikation (1) (2) ist unmittelbar klar, da ganze Zahlen rational sind und man somit nehmen kann.

Sei (2) erfüllt und sei

mit , und . Wegen ist auch eine rationale Zahl. Wir multiplizieren mit und erhalten

Dies ist ein normiertes Polynom, die Koeffizienten sind nach wie vor rational und es ist auch

Sei nun (3) erfüllt, und

mit und . Es ist

mit , . Wir setzen

Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten, ist nicht das Nullpolynom und es ist nach wie vor


Aufgabe (5 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Lösung

Wir setzen an und drücken das Polynom bzw. die Gleichung in aus. Es ist

und

Insgesamt ergibt sich also

Eine äquivalente Gleichung ist also


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.


Lösung

Sei . Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da die Folge , , gegen konvergiert, und da die rationale Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven ein positives mit der Eigenschaft, dass aus

die Abschätzung

folgt. Sei nun beliebig und vorgegeben. Wir betrachten ein , das zu

die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von Fakt *****  (1) für mit

die Abschätzung


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Für die Eulersche Zahl seien die Abschätzungen

bekannt.

  1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?
  2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?


Lösung

  1. Es ist

    und

    Somit ist

    und die Ziffernentwicklung von beginnt mit , die zweite Nachkommaziffer liegt zwischen und , über die weiteren Nachkommaziffern kann man keine Aussage machen.

  2. Es ist

    und

    Somit hat man die Abschätzungen

    Die Dezimalentwicklung von beginnt also mit , ( ist ausgeschlossen, da die Division durch nicht auf die Periode führt) die dritte Nachkommaziffer ist oder oder , über die folgenden Stellen kann man keine Aussage machen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien positive reelle Zahlen und es gelte

Zeige, dass es positive rationale Zahlen mit

gibt.


Lösung

Es sei eine rationale echt fallende Folge (bei ; bei wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis konvergiert auch gegen . In jedem Fall ist dies eine (bei ) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales mit

Die Funktion

ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach Korollar 51.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) und Satz 52.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge , die gegen konvergiert, dass auch gegen konvergiert. Wir wählen die Folge echt fallend, so dass auch echt fallend ist. Für hinreichend groß ist dann

und wir können wählen.


Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

In einem Kurs nehmen Personen teil. Für die Person ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich . Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

  1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich ist.
  2. Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich ist.
  3. Zeige, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist.


Lösung

  1. Wir modellieren die Situation mit dem Wahrscheinlichkeitsraum

    (der erste Index durchläuft die Personen, der zweite Index die Möglichkeiten Durchfallen oder Bestehen) mit den Wahrscheinlichkeiten

    und

    ist die Wahrscheinlichkeit, dass Person betrachtet wird und dass sie durchfällt. Es sei das Ereignis, das aus allen Paaren besteht. Die Wahrscheinlichkeit für ist

  2. Hierfür betrachten wir den Produktraum , wir lassen also im Modell alle Personen auch die zweite Klausur schreiben. Die Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden und beide Male durchzufallen, ist . Es sei das Ereignis, bei der ersten Klausur durchzufallen, und das Ereignis, bei der zweiten Klausur durchzufallen. Es geht dann um die bedingte Wahrscheinlichkeit für unter der Bedingung . Diese ist
  3. Wir müssen

    zeigen, was auf

    führt. Dies ist äquivalent zu

    bzw. zu

    Nun ist aber

    als eine Summe von Quadraten nichtnegativ.