Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/18/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	$\sum$
Punkte	3	3	7	5	3	2	2	4	9	2	3	8	5	8	64

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen affinen Unterraum  $G\subseteq K^n$  der Form

   $G=P+Kv=\{P+sv\mid s\in K\}$

   mit einem von $0$ verschiedenen Vektor $v\in K^n$ und einem Aufpunkt $P\in K^n$.

2. Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix $A\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$ mit

   $A\circ M=E_n=M\circ A$

   gibt.

3. Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also  $R\subseteq M\times M$. 
4. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge $𝔞\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. Für alle $a,b\in 𝔞$ ist auch $a+b\in 𝔞$.
   2. Für alle $a\in 𝔞$ und $r\in R$ ist auch $ra\in 𝔞$.
5. Der durch einen Kreisbogen der Länge $\alpha \in [0,2\pi ]$ definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.
6. Der Logarithmus zur Basis $b$ ist die Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis $b$.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es sei $n\in \mathbb{N}$. Der Restklassenring $\mathbb{Z}/(n)$ ist genau dann ein Körper, wenn $n$ eine Primzahl ist.
2. Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein  $a>0$  und ein $n_0$ derart gibt, dass für alle  $n\ge n_0$  die Abschätzung

   $x_n\ge a$

   gilt. Dann ist auch die durch (für $n$ hinreichend groß)

   $y_n={\left(x_n\right)}^{-1}$

   gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf genau $k$-fach Kopf fällt, beträgt

   $B_{\frac{1}{2},n}(k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{2^n}.$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.

Lösung

Es sei die Lösungsmenge $S$ nicht leer und sei  $P=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ ⋮\\ p_n\end{array}\right)\in S$  ein beliebig gewählter Punkt. Es sei $U$ der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem, der nach Lemma 34.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) ein Untervektorraum von $K^n$ ist. Wir müssen die Mengengleichheit  $S=P+U$  zeigen. Wenn  $v=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)\in U$  ist, so bedeutet dies

$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{v}_j=0$

für alle  $i=1,\dots ,m$.  Für  $P+v=\left(\begin{array}{c}{p}_1+v_1\\ ⋮\\ p_n+v_n\end{array}\right)$  ist dann

$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(p_j+v_j)=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{p}_j+\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{v}_j=c+0=c,$

also ist dieser Punkt eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und somit ist  $P+v\in S$.  Wenn umgekehrt  $Q=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ ⋮\\ q_n\end{array}\right)\in S$  eine Lösung ist, so ist

$Q-P=\left(\begin{array}{c}{q}_1-p_1\\ ⋮\\ q_n-p_n\end{array}\right)$

und diese Differenz erfüllt

$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(q_j-p_j)=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{q}_j-\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{p}_j=c-c=0.$

Also ist  $Q-P\in U$  und somit  $Q=P+(Q-P)\in P+U$. 

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien $n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von $n$) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.

Lösung

Die maximale Anzahl der Schnittpunkte ist $\frac{n(n-1)}{2}$. Dies beweisen wir durch Induktion über $n$. Bei keiner oder einer Geraden gibt es keinen Schnittpunkt, die Formel ist also richtig, und dies sichert den Induktionsanfang. Es sei die Aussage nun für $n$ Geraden bewiesen, und es komme eine neue Gerade hinzu. Diese neue Gerade hat mit jeder der vorgegebenen Geraden höchstens einen Schnittpunkt. Wenn die neue Gerade einen Richtungsvektor besitzt, der von allen Richtungsvektoren der $n$ Geraden verschieden ist, so besitzt die neue Gerade mit jeder alten Geraden einen Schnittpunkt. Da es unendlich viele Richtungsvektoren gibt, kann man stets eine neue Richtung für die neue Gerade wählen. Indem man die neue Gerade parallel verschiebt, kann man auch erreichen, dass die neuen Schnittpunkte von den alten Schnittpunkten verschieden sind. Es kann also erreicht werden, dass genau $n$ Schnittpunkte hinzukommen. Wenn die $n$ Geraden die maximale mögliche Anzahl von Schnittpunkten haben, so hat die neue Geradenkonfiguration genau

$\frac{n(n-1)}{2}+n=\frac{n(n-1)+2n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$

Schnittpunkte (und wenn die $n$ Geraden weniger als $\frac{n(n-1)}{2}$ Schnittpunkte haben, so hat auch die neue Geradenkonfiguration weniger als $\frac{(n+1)n}{2}$ Schnittpunkte), was den Induktionsschritt beweist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 7& 2& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right).$

Lösung

$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 7& 2& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -5& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -7& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -7& 1& -\frac{1}{4}\\ 0& 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ \frac{7}{5}& -\frac{1}{5}& \frac{1}{20}\\ 0& 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{ccc}-\frac{2}{5}& \frac{1}{5}& -\frac{1}{20}\\ \frac{7}{5}& -\frac{1}{5}& \frac{1}{20}\\ 0& 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)$

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien $M$ und $N$ Mengen und sei $f:M\to N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

$x\sim y,$

wenn

$f(x)=f(y),$

eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert wird.

Lösung

Da der Funktionswert $f(x)$ eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar $x\sim x$. Wenn $x\sim y$ ist, so bedeutet das  $f(x)=f(y)$  und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt  $f(y)=f(x)$,  was wiederum $y\sim x$ bedeutet. Wenn $x\sim y$ und $y\sim z$ ist, so bedeutet dies einerseits  $f(x)=f(y)$  und andererseits  $f(y)=f(z)$.  Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt  $f(x)=f(z)$,  was $x\sim z$ bedeutet.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu $\bar{8}$ in $\mathbb{Z}/(17)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert direkt

$17=2\cdot 8+1.$

Somit ist

$\begin{array}{cc}1& =17-2\cdot 8\\ \end{array}$

Daher ist

$-2=15$

das inverse Element zu $8$ in $\mathbb{Z}/(17)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ zwei konvergente Folgen mit  $x_n\ge y_n$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass dann  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n$  gilt.

Lösung

Es seien $x$ und $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei

$x<y$

angenommen. Wir setzen

$\delta :=y-x$

und

$ϵ=\frac{1}{3}\cdot \delta >0.$

Dann sind die $ϵ$-Umgebungen $[x-ϵ,x+ϵ]$ und $[y-ϵ,y+ϵ]$ disjunkt. Zu diesem $ϵ$ gibt es ein (gemeinsames) $n_0$ derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Folgenglieder $x_n\in [x-ϵ,x+ϵ]$ und die Folgenglieder $y_n\in [y-ϵ,y+ϵ]$ liegen. Somit ergibt sich

$x_n\le x+ϵ<y-ϵ\le y_n,$

ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Aufgabe (9 (1+1+4+2+1) Punkte)

Es sei $M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge $0$ oder $1$ besitzt (Periodenlänge $0$ bedeutet Dezimalbruch).

1. Gehört $\frac{1}{11}$ zu $M$?
2. Gehört $\frac{1}{45}$ zu $M$?
3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch $a/b$ an, ob er zu $M$ gehört oder nicht?
4. Ist $M$ mit der Addition eine Untergruppe von $ℝ$?
5. Ist $M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von $ℝ$?

Lösung

1. Es ist

   $\frac{1}{11}=0,\overline{09},$

   die Periodenlänge ist also $2$ und somit gehört $\frac{1}{11}$ nicht zu $M$.

2. Es ist

   $\frac{1}{45}=0,0\bar{2},$

   die Periodenlänge ist also $1$ und somit gehört $\frac{1}{45}$zu $M$.

3. Ein gekürzter Bruch $a/b$ gehört genau dann zu $M$, wenn $b$ die Primfaktorzerlegung

   $b=2^i{5}^j{3}^k$

   mit  $k\le 2$  besitzt. Es sei dazu  $z\in M$.  Wenn $x$ die Periodenlänge $0$ besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und $x$ erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn $x$ die Periodenlänge $1$ besitzt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form

   $\begin{array}{cc}x& =z_m{z}_2{z}_1,z_{-1}\dots z_{-k}\bar{z}\\ & =z_m{z}_2{z}_1,z_{-1}\dots z_{-k}+0,\underset{k\text{ Nullen}}{\underbrace{0\dots 0}}\bar{z}\\ & =z_m{z}_2{z}_1,z_{-1}\dots z_{-k}+z\cdot 0,0\dots 0\bar{1}\\ & =z_m{z}_2{z}_1,z_{-1}\dots z_{-k}+z\cdot 10^k\cdot 0,\bar{1}\\ & =z_m{z}_2{z}_1,z_{-1}\dots z_{-k}+z\cdot 10^k\cdot \frac{1}{9}\end{array}$

   vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal $9$ im Nenner geschrieben werden. Das Element $x$ erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.

   Es sei umgekehrt ein Bruch der Form

   $\frac{a}{10^i}\cdot \frac{1}{3^k}$

   mit  $k\le 2$  gegeben, wobei in $a$ der Primfaktor $3$ nicht mehr vorkommt. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche

   $\frac{1}{3},\frac{1}{9}$

   besitzen die Periodenlänge $1$.

4. Die Null (Periodenlänge null) gehört zu $M$ und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus $M$ kann man nach Teil (3) als (nicht unbedingt gekürzt) $x=\frac{c}{10^i\cdot 9}$ und $y=\frac{d}{10^j\cdot 9}$ schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir  $i=j$  annehmen. Daher ist

   $x+y=\frac{c}{10^i\cdot 9}+\frac{d}{10^i\cdot 9}=\frac{c+d}{10^i\cdot 9}$

   und dies gehört wieder zu $M$. Somit handelt es sich um eine Untergruppe von $ℝ$.

5. Es liegt kein Unterring vor, da $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{9}$ beide zu $M$ gehören, ihr Produkt, also $\frac{1}{27}$, ist aber

   $\frac{1}{27}=0,\overline{037}$

   und besitzt die Periodenlänge $3$, gehört also nicht zu $M$.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$)

$I_n=[a_n,b_n]\subseteq ℝ$

mit  $I_{n+1}\subseteq I_n$  für alle $n$, wobei $a_n$ streng wachsend und $b_n$ streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Lösung

Sei  $a_n=1-\frac{1}{n}$  und  $b_n=2+\frac{1}{n}$,  dann sind alle geforderten Eigenschaften erfüllt, die Intervalllängen sind aber stets $\ge 1$ und somit bilden diese keine Nullfolge, es liegt also keine Intervallschachtelung vor.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom  $P\in \mathbb{Q}[X]$  an, das nicht zu $\mathbb{Z}[X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt:  $P(n)\in \mathbb{Z}$. 

Lösung

Betrachte das Polynom

$P=\frac{X(X-1)}{2}=\frac{X^2}{2}-\frac{X}{2}.$

Die Koeffizienten liegen in $\mathbb{Q}$, aber nicht in $\mathbb{Z}$. Wenn man in dieses Polynom eine ganze Zahl $n$ einsetzt, so ist genau eine der Zahlen $n$ und $n-1$ gerade. Also ist  $P(n)=\frac{n(n-1)}{2}$  ganzzahlig.

Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)

1. Zeige die Abschätzungen

   $\frac{5}{2}\le \sqrt{7}\le \frac{8}{3}.$

2. Zeige die Abschätzungen

   $15\le 3^{\sqrt{7}}\le 19.$

3. Zeige die Abschätzung

   $17\le 3^{\sqrt{7}}.$

Lösung

1. Die angegebenen Abschätzungen kann man durch Quadrieren überprüfen. Wegen

   ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}\le \frac{28}{4}=7=\frac{63}{9}\le \frac{64}{9}={\left(\frac{8}{3}\right)}^2$

   ist dies richtig.

2. Nach Teil (1) ist

   $\frac{5}{2}\le \sqrt{7}$

   und damit ist

   $3^{\frac{5}{2}}\le 3^{\sqrt{7}}.$

   Wegen

   $15^2=225\le 243=3^5$

   ist

   $15\le 3^{\frac{5}{2}}$

   und damit

   $15\le 3^{\sqrt{7}}.$

   Nach Teil (1) ist

   $\sqrt{7}\le \frac{8}{3}$

   und damit ist

   $3^{\sqrt{7}}\le 3^{\frac{8}{3}}.$

   Wegen

   $3^8=6561\le 6859=19^3$

   ist

   $3^{\frac{8}{3}}\le 19$

   und damit

   $3^{\sqrt{7}}\le 19.$

3. Zunächst ist

   $\frac{13}{5}\le \sqrt{7},$

   da

   ${\left(\frac{13}{5}\right)}^2=\frac{169}{25}\le \frac{175}{25}=7$

   ist. Somit gilt

   $3^{\frac{13}{5}}\le 3^{\sqrt{7}}.$

   Wegen

   $17^5=1419857\le 1594323=81\cdot 81\cdot 81\cdot 3=3^{13}$

   ist

   $17\le 3^{\frac{5}{13}}$

   und damit auch

   $17\le 3^{\sqrt{7}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$f(x)=a^x$

eine Exponentialfunktion mit  $a\ne 1$.  Zu jedem  $x\in ℝ$  definiert die Gerade durch die beiden Punkte $(x,f(x))$ und $(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse, den wir mit $s(x)$ bezeichnen. Zeige

$s(x+1)=s(x)+1.$

Skizziere die Situation.

Lösung

Aufgrund des Strahlensatzes muss die Beziehung

$\frac{f(x)}{x-s(x)}=\frac{f(x+1)}{x+1-s(x)}$

gelten. Wegen

$f(x+1)=f(x)f(1)$

folgt daraus

$\frac{1}{x-s(x)}=\frac{f(1)}{x+1-s(x)}.$

Umstellen ergibt

$f(1)(x-s(x))=x+1-s(x)$

und

$x(f(1)-1)=1+s(x)(f(1)-1)$

und schließlich

$s(x)=x-\frac{1}{f(1)-1}.$

Somit ist auch

$s(x+1)=x+1-\frac{1}{f(1)-1}$

und daher ist

$s(x+1)-s(x)=x+1-\frac{1}{f(1)-1}-(x-\frac{1}{f(1)-1})=1.$

Aufgabe (8 (3+2+2+1) Punkte)

Frau Selena Popescu ist eine gut ausgebildete und engagierte Lehrerin. Wenn sie eine Klasse ein Jahr lang unterrichtet, kann man im langjährigen Mittel folgende Notenbewegungen beobachten. Ein Kind, das zuvor eine $1$ hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6}$ bei einer $1$ und verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ auf eine $2$. Ein Kind, das zuvor eine $2,3,4$ oder $5$ hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ bei seiner Note, es verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ um eine Note und es verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ um eine Note. Ein Kind, das zuvor eine $6$ hatte, verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ auf eine $5$ und bleibt mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ bei der $6$.

Adriane hatte zuletzt eine $3$, dann bekam sie Frau Popescu als Lehrerin.

1. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass Adriane nach zwei Jahren bei Frau Popescu eine $1,2,3,4,5,6$ bekommt.
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adriane nach drei Jahren bei Frau Popescu eine $1$ bekommt?
3. Angenommen, alle Kinder hatten zuvor eine $3$. Was ist der Klassendurchschnitt, wenn Frau Popescu zwei Jahre lang die Klasse unterrichtet (man denke an $36$ Kinder)?
4. Ist es möglich, dass sich der Klassendurchschnitt in einem Jahr verschlechtert, wenn Frau Popescu eine Klasse übernimmt?

Lösung

1. Um in den zwei Jahren auf eine $1$ zu kommen, gibt es nur die Möglichkeit, sich in beiden Jahren zu verbessern, die Wahrscheinlichkeit dafür ist

   $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}=\frac{4}{36}.$

   Um nach zwei Jahren auf einer $2$ zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verbessern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

   $2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}=\frac{12}{36}.$

   Um nach zwei Jahren auf einer $3$ zu stehen, gibt es drei Möglichkeiten. Sie kann in beiden Jahren bei der gleichen Note bleiben oder sich zuerst verbessern und dann wieder verschlechtern oder umgekehrt. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

   $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=\frac{13}{36}.$

   Um nach zwei Jahren auf einer $4$ zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verschlechtern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

   $2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{6}{36}.$

   Um nach zwei Jahren auf einer $5$ zu stehen, muss sie sich in beiden Jahren verschlechtern. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

   $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.$

   Auf eine $6$ abzufallen hat die Wahrscheinlichkeit $0$.

2. Es gibt die beiden Möglichkeiten, dass sie ihre nach zwei Jahren erworbene $1$ im dritten Jahr behält oder dass sie ihre $2$ vom zweiten Jahr im dritten Jahr verbessert. Unter Verwendung von Teil (1) ist dafür die Wahrscheinlichkeit gleich

   $\frac{1}{9}\cdot \frac{5}{6}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{54}+\frac{6}{54}=\frac{11}{54}.$

3. Der Klassendurchschnitt ist das arithmetische Mittel der Noten. Er ergibt sich, wenn man die Noten mit ihren Vielfachheiten aufaddiert und durch die Anzahl der Kinder dividiert. Dies führt auf

   $\begin{array}{cc}\frac{1\cdot 4+2\cdot 12+3\cdot 13+4\cdot 6+5\cdot 1+6\cdot 0}{36}& =\frac{4+24+39+24+5}{36}\\ & =\frac{96}{36}\\ & =\frac{8}{3}\\ & =2,\mathrm{33...}\end{array}$

4. Wenn alle Kinder bisher eine $1$ hatten, so haben nach einem Jahr bei Frau Popescu nur noch $5/6$ davon eine $1$, der Notendurchschnitt verschlechtert sich also.