Lösung
- Die Vektoren im heißen eine
Basis
des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine
Linearkombination
mit den Vektoren schreiben kann.
- Die
Relation
heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Aus und folgt stets .
- Aus und folgt .
- Eine Folge in ist eine
Abbildung
-
- Der Polynomring über einem
Körper
besteht aus allen Polynomen
-
mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
-
definiert ist.
- Der
Restklassenring
des Ringes der rationalen
Cauchy-Folgen
modulo des Ideals der Nullfolgen heißt
Cauchy-Folgen-Modell
der reellen Zahlen.
- Ein Laplace-Raum ist eine
endliche Menge
zusammen mit derjenigen
Wahrscheinlichkeitsdichte
-
die jedem Element den konstanten Wert zuweist.
Lösung
- Es sei . Der Restklassenring ist genau dann ein Körper, wenn eine Primzahl ist.
- Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen. Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper
und
vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus
-
- Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.
Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.
Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und hinzunehmen. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable , indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und ausrechnen. Dies führt auf
-
Mit ergibt sich
-
und
-
Rückwärts gelesen ergibt sich
-
-
und
-
Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.
Lösung
Bestimme die
inverse Matrix
von
-
Lösung
Die inverse Matrix ist
-
Bestimme, ob die durch die Relationstabelle
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beschriebene
Relation
auf der Menge
reflexiv,
symmetrisch,
transitiv,
antisymmetrisch
ist.
Lösung
Es sei
und
die kanonischen Abbildungen in die
Restklassenringe
bzw. .
Wir betrachten die Abbildung
-
- Berechne .
- Finde ein Urbild von und eines von .
- Zeige, dass
surjektiv
ist.
Lösung
- Es ist
-
- Es ist
-
und
-
- Die Bilder von sind der Reihe nach
-
damit sind alle zehn Elemente der Produktmenge erfasst.
Vergleiche
-
Lösung
Wir fragen uns, ob
-
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
-
Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu
-
was stimmt. Also ist
-
Lösung
Es ist
-
Bei ist somit
-
und bei
ist
-
Daher ist stets
-
Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen
und
derart, dass
-
für und
-
für gilt. Für gilt daher
-
Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .
Lösung
Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch
-
gegeben ist. Es ist dann
-
und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach
Beispiel 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.
Lösung
- Es ist
-
die Periodenlänge ist also und somit gehört zu .
- Es ist
-
die Periodenlänge ist also und somit gehört nicht zu .
- Ein gekürzter Bruch gehört genau dann zu , wenn die Primfaktorzerlegung
-
mit
und
besitzt. Es sei dazu
.
Wenn die Periodenlänge besitzt, so liegt ein Dezimalbruch vor und erfüllt die angegebene Bruchbeschreibung. Wenn die Periodenlänge besitzt, was den Fall miteinschließt, dass minimale Periodenlänge vorliegt, so liegt eine Dezimalentwicklung der Form
vor. Dieser Bruch kann also mit einer Zehnerpotenz mal
im Nenner geschrieben werden. Das Element erfüllt also die angegebene Bruchbeschreibung.
Es sei umgekehrt ein Bruch der Form
-
mit
und
gegeben, wobei in die Primfaktoren
und
nicht mehr vorkommen. Der Dezimalbruch links ändert nichts an der Periodenlänge, und die Brüche
-
besitzen die Periodenlänge
oder .
- Die Null
(Periodenlänge null)
gehört zu und das Negative zu einer Zahl besitzt die gleiche Periodenlänge. Zwei Elemente aus kann man nach Teil (3) als
(nicht unbedingt gekürzt)
und
schreiben. Durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz können wir
annehmen. Daher ist
-
und dies gehört wieder zu . Somit handelt es sich um eine Untergruppe von .
- Es liegt kein Unterring vor, da
und
beide zu gehören, ihr Produkt, also , ist aber
-
und besitzt die Periodenlänge , gehört also nicht zu .
Lösung
Für gerade sei
-
und für ungerade sei
-
Die Intervalllänge ist stets , also bilden diese eine Nullfolge. Es ist
-
Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.
Löse die quadratische Gleichung
über .
Lösung
Die normierte Gleichung ist
(Multiplikation mit )
-
Die p-q-Formel ergibt
-
Somit ist
-
und
-
Lösung
Es ist
und
,
es muss also nach
Korollar 52.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
eine Nullstelle im Intervall geben. Wir berechnen den Funktionswert an der Intervallmitte und erhalten
-
Wir müssen also mit dem rechten Teilintervall weitermachen. Dessen Intervallmitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist
-
Jetzt müssen wir mit dem linken Teilintervall weitermachen, dessen Mitte ist . Der Funktionswert an dieser Stelle ist
-
Somit wissen wir, dass es eine Nullstelle zwischen
und
gibt.
Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.
Lösung Reelle Kosinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung
Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei
(zumindest)
sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?
Lösung
Es seien verschiedene
Primzahlen
und ihr Produkt. Wir betrachten den
Wahrscheinlichkeitsraum
mit der
Laplace-Dichte.
Es sei das Ereignis, das eine Zahl aus ein Vielfaches von ist. Zeige, dass die
vollständig unabhängig
sind.
Lösung
Sei
.
Das Ereignis besteht aus allen Zahlen aus , die gemeinsame Vielfache von den Primzahlen
,
sind. Da die Primzahlen zueinander teilerfremd sind, geht es um die Zahlen aus , die Vielfache vom Produkt sind. Dies sind die Zahlen
-
da ja
-
das Maximum aus ergibt. Die Menge besteht also aus Elementen und somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit
-
Da das Argument insbesondere für einelementige Mengen gilt, ist
-
und somit ist
-
was die vollständige Unabhängigkeit bedeutet.