Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 16/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

R\times M\longrightarrow M,\,(r,m)\longmapsto rm,

${}R$ - bilinear ist.

Aufgabe Aufgabe 16.2 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}U,V,W$ seien ${}R$ - Moduln. Zeige die folgenden Aussagen.

Es ist
${}U\otimes _{R}V\cong V\otimes _{R}U\,.$
Es ist
${}U\otimes _{R}{\left(V\otimes _{R}W\right)}\cong {\left(U\otimes _{R}V\right)}\otimes _{R}W\,.$
Es ist
${}U\otimes _{R}{\left(V\oplus W\right)}\cong {\left(U\otimes _{R}V\right)}\oplus {\left(U\otimes _{R}W\right)}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${}R$ - Modulisomorphie

{}R^{n}\otimes _{R}R^{m}\cong R^{nm}\,.

Aufgabe Aufgabe 16.4 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$ - Modul. Zeige folgende Aussagen.

Zu einem multiplikativen System ${}S\subseteq R$ ist ${}M_{S}\cong R_{S}\otimes _{R}M$ .
Zu einem Ideal ${}I\subseteq R$ ist ${}M/IM\cong R/I\otimes _{R}M$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ sei ein direkter Summand. Zeige, dass für jeden ${}R$ - Modul ${}M$ die natürliche Abbildung

M\longrightarrow S\otimes _{R}M

injektiv ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$ - Modul ${}M$ heißt flach, wenn die Tensorierung mit ${}M$ die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass der ${}R$ - Modul ${}R^{n}$ flach ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel eines nicht flachen Moduls über einem kommutativen Ring.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}H$ eine endlich erzeugte kommutative Gruppe und

{}H\cong \mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,

eine direkte Zerlegung (mit

n_{j}\in \mathbb {N} _{+}

). Zeige mit Hilfe des Tensorproduktes, dass die Zahl

{}r

in jeder direkten Zerlegung von

{}H

gleich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ eine kommutative ${}K$ - Algebra und ${}G$ eine Gruppe, die als Gruppe von ${}K$ - Algebraautomorphismen auf ${}R$ operiere. Ferner liege eine lineare Operation von ${}G$ auf einem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ vor. Zeige, dass auf dem ${}R$ - Modul ${}R\otimes _{K}V$ eine verträgliche Operation von ${}G$ als Gruppe von ${}R^{G}$ - Modulautomorphismen vorliegt.

Aufgabe Aufgabe 16.10 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring ${}R^{G}$ . Es sei ${}M$ ein ${}R^{G}$ - Modul und ${}R\otimes _{R^{G}}M$ der durch Ringwechsel gewonnene ${}R$ -Modul. Zeige, dass es eine verträgliche Operation von ${}G$ auf ${}R\otimes _{R^{G}}M$ als Gruppe von ${}R^{G}$ - Modulautomorphismen gibt, und dass es eine natürliche Abbildung

M\longrightarrow {\left(R\otimes _{R^{G}}M\right)}^{G}

gibt. Zeige, dass unter der Bedingung, dass ${}R^{G}$ ein direkter Summand von ${}R$ ist, diese Abbildung injektiv ist, und dass dies ohne diese Voraussetzung nicht gelten muss.