Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Induzierte Darstellungen}
{Gruppe/Lineare Operation/Induzierte Operationen/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {} {G \times V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ auf $V$.}
\faktuebergang {Durch diese Operation werden folgende lineare Operationen induziert.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Operation auf dem $k$-ten Produkt\zusatzfussnote {Diese Konstruktion lag schon
Beispiel 1.1
zugrunde} {.} {} von $V$ mit sich selbst, also
\maabbeledisp {} {G \times V^k } { V^k
} {(\sigma, v_1 , \ldots , v_k)} { (\sigma(v_1) , \ldots , \sigma(v_k) )
} {.}
}{Die Operation auf dem $k$-ten Dachprodukt
\mathl{\bigwedge^k V}{,} also
\maabbdisp {} {G \times \bigwedge^k V } { \bigwedge^k V
} {,}
die durch
\mathl{v_1 \wedge \ldots \wedge v_k \mapsto \sigma(v_1) \wedge \ldots \wedge \sigma(v_k)}{} festgelegt ist.
}{Die duale Operation
\zusatzklammer {von rechts} {} {} auf dem
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
${ V }^{ * }$, also die Abbildung
\maabbeledisp {} {{ V }^{ * } \times G} {{ V }^{ * }
} {(f, \sigma)} { f \circ \sigma
} {.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.1. }
\zwischenueberschrift{Lineare Operationen und der Polynomring}
Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einer Menge $X$
\zusatzklammer {beispielsweise einem Vektorraum} {} {}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei $K$ ein Körper und
\maabbdisp {f} {X} {K
} {}
eine beliebige Funktion mit $X$ als
\definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{}
und $K$ als
\definitionsverweis {Zielbereich}{}{.}
Die Menge dieser Funktionen bilden einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{,}
wobei je zwei Funktionen addiert oder multipliziert werden, indem an jedem Punkt
\mathl{x \in X}{} die Werte dieser Funktion addiert bzw. multipliziert werden. Zu
\mathl{\sigma \in G}{,} aufgefasst als Bijektion
\maabbdisp {\sigma} {X} {X
} {,}
ergibt sich die neue Funktion
\mathdisp {X \stackrel{\sigma}{\longrightarrow }X \stackrel{f}{\longrightarrow} K} { , }
also
\mathl{f \circ \sigma}{.} Die Gruppe operiert also auch auf dem Funktionenring, und zwar wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \circ { \left( \sigma \tau \right) }
}
{ =} { { \left( f \circ \sigma \right) } \circ \tau
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von rechts. Zu diesem Übergang vergleiche auch
Beispiel 2.25.
Auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} sind die einfachsten Funktionen von $V$ nach $K$ die \definitionsverweis {Linearformen}{}{.} Wenn eine Gruppe $G$ \definitionsverweis {linear}{}{} auf $V$ operiert, so ist die Zuordnung \zusatzklammer {vergleiche Proposition 4.1} {} {} \maabbeledisp {} {{ V }^{ * } \times G} {{ V }^{ * } } {(f, \sigma)} { f \circ \sigma } {,} selbst $K$-linear.
Bei
\mathl{V=K^n}{} bilden die Projektionen $p_i$, wobei die Projektion $p_i$ ein Tupel
\mathl{\left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} auf seine $i$-te Komponente $x_i$ abbildet, eine Basis von
\mathl{{ V }^{ * }}{}
\zusatzklammer {die sogenannte \stichwort {Dualbasis} {}} {} {.}
Ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{f \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} aus dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen über $K$ kann man direkt als eine Funktion
\zusatzklammer {die zugehörige \stichwort {Polynomfunktion} {}} {} {}
von $K^n$ nach $K$ interpretieren, indem man in das Polynom das Tupel
\mathl{{ \left( x_1 , \ldots , x_n \right) }}{} einsetzt, bzw. die Variable $X_i$ als die $i$-te Projektion $p_i$ interpretiert.
Man möchte nun jedem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ einen Polynomring
\mathl{K[V]}{} zuordnen, dessen Elemente man als $K$-wertige Funktionen auf $V$ auffassen kann. Da es stets eine
\definitionsverweis {lineare Isomorphie}{}{}
\mathl{V \cong K^n}{} gibt, wird es auch einen
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[V]
}
{ \cong }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Man nennt die von allen formalen Monomen
\mathl{f_1 \cdot f_2 \cdots f_m}{,} wobei die $f_i$
\definitionsverweis {Linearformen}{}{} auf $V$ sind, symbolisch erzeugte kommutative $K$-Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den
\definitionswort {Polynomring}{}
zu $V$. Er wird mit
\mathdisp {K[V]} { }
bezeichnet.
}
\inputbemerkung
{}
{
Jedes Element in
\mathl{K[V]}{} besitzt eine Darstellung der Form
\mathdisp {\sum_\nu a_\nu f_\nu} { }
\zusatzklammer {mit endlicher Indexmenge} {} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_\nu
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $f_\nu$ ein formales Produkt aus Linearformen ist. In einem solchen Produkt sind wegen der geforderten Kommutativität die Faktoren vertauschbar. Da lineare Relationen zwischen den Linearformen respektiert werden müssen, folgt aus einer Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} { b_1g_1 + \cdots + b_\ell g_\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für Linearformen
\mathl{g, g_1 , \ldots , g_\ell}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g f_2 \cdots f_m
}
{ =} { \sum_{j = 1}^\ell b_j g_j f_2 \cdots f_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $V$
$n$-\definitionsverweis {dimensional}{}{}
ist und
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} eine Basis von
\mathl{{ V }^{ * }}{} ist, so lässt sich daher jedes Element aus
\mathl{K[V]}{} als Polynom in den $f_i$ schreiben. Diese Darstellung ist auch eindeutig, da es in
\mathl{K[V]}{} nur Relationen gibt, die von einer linearen Relation herrühren, es solche aber in einer Basis nicht gibt. D.h. es gibt einen
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X_1 , \ldots , X_n]} {K[V]
} {X_i} {f_i
} {.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {unendlicher Körper}{}{}
und $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Dann lässt sich der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[V]}{} auch als die von sämtlichen
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
erzeugte
$K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{} von
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( V , K \right) }}{} definieren. Dies beruht darauf, dass ein Polynom $\neq 0$ auf $K^n$
\zusatzklammer {also als Polynomfunktion aufgefasst} {} {}
nicht die Nullfunktion ist. Bei einem endlichen Körper ist dies nicht richtig, wie das Polynom
\mathl{X^p-X}{} über
\mathl{\Z/(p)}{} zeigt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{V,W}{} seien
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Den durch
\maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { W }^{ * } } { { V }^{ * }
} {}
über
\mathl{f_1 \cdots f_m \mapsto { \varphi }^{ * } (f_1) \dots { \varphi }^{ * } (f_m)}{}
gegebenen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[W]} {K[V]
} {}
nennt man
\definitionswort {induzierten Algebrahomomorphismus}{.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {K^n } {K^m
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die durch eine
\mathl{m \times n}{-}Matrix $A$ gegeben sei. Dann wird der
\definitionsverweis {zugehörige}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[Y_1 , \ldots , Y_m]} { K[X_1 , \ldots , X_n]
} {}
durch
\mathl{Y_j \mapsto \sum_{k =1 }^n a_{jk} X_k}{} gegeben. Nach Definition wird $Y_j$ auf die Hintereinanderschaltung
\mathdisp {K^n \stackrel{\varphi }{\longrightarrow} K^m \stackrel{p_j}{\longrightarrow} K} { }
abgebildet. Diese schickt den $i$-ten
\definitionsverweis {Standardvektor}{}{}
$e_i$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_j { \left( \varphi(e_i) \right) }
}
{ =} {p_j { \left( \sum_{k = 1}^m a_{ki} e_k \right) }
}
{ =} { a_{ji}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch diese Bedingungen ist aber gerade
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^n a_{jk} p_k
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n a_{jk} X_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
charakterisiert. Zu einer Linearform
\mathl{\sum_{j=1}^m b_j Y_j}{} berechnet man also das Bild
\mathl{\sum_{i=1}^n c_i X_i}{,} indem man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ { A^{ \text{tr} } } b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ausrechnet. Für ein beliebiges Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[Y_1 , \ldots , Y_m]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich das Bild, indem man in $F$ jedes $Y_j$ durch den angegebenen Ausdruck ersetzt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {} {G \times V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ auf $V$. Es sei
\mathl{K[V]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
zu $V$. Die Operation der Gruppe $G$
\zusatzklammer {von rechts} {} {}
auf
\mathl{K[V]}{,} die für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
per
Definition 4.5
durch die Zuordnung
\maabbeledisp {} { { V }^{ * } } {{ V }^{ * }
} {f} { f \circ \sigma
} {,}
festgelegt ist, nennt man die
\definitionswort {induzierte Operation auf dem Polynomring}{.}
}
\inputbeispiel{
}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die
\definitionsverweis {symmetrische Gruppe}{}{} $S_n$, die auf $K^n$
\definitionsverweis {linear operiert}{}{,}
indem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den $i$-ten Standardvektor $e_i$ auf
\mathl{e_{\sigma(i)}}{} schickt
\zusatzklammer {wie in
Beispiel 3.4} {} {.}
Diese Gruppenoperation induziert gemäß
Definition 4.7
eine Operation auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Dabei wird $X_i$ auf
\mathl{X_{\sigma^{-1} (i)}}{} geschickt! Abgesehen von diesem Invertieren ist diese Operation der $S_n$ auf dem Polynomring nichts anderes als die in der ersten Vorlesung besprochene Operation.
}
Wenn eine Gruppe auf dem $K^n$ durch Diagonalmatrizen operiert, wie in Beispiel 3.15 und Ähnlichen, so erübrigt sich das Transponieren, wenn man zur zugehörigen Operation auf dem Polynomring übergeht.
\inputbeispiel{}
{
Auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ operiert die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{K^{\times}}{} durch
\definitionsverweis {skalare Multiplikation}{}{.}
Die entsprechende
\definitionsverweis {Operation}{}{}
auf dem Polynomring
\mathl{K[V]}{} ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mathl{f \mapsto \lambda f}{} für eine Linearform $f$ gegeben. Ein Produkt
\mathl{f_1 \cdots f_d}{} von Linearformen wird auf
\mathl{\lambda^d f_1 \cdots f_d}{} abgebildet.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} der eine $r$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} $\zeta$ besitzt. Wir betrachten die
in Beispiel 3.13
beschriebene Operation von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(r)
}
{ \cong} {\mu_{ r } { \left( K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $K$ durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring
\mathl{K[X]}{} ist dadurch gegeben, dass
\mathl{\zeta^{i} \in \mu_{ r } { \left( K \right) }}{} durch
\mathl{X \mapsto \zeta^{i} X}{} wirkt. Somit wird eine Potenz $X^{j}$ auf
\mathl{\zeta^{ij} X^j}{} abgebildet. Insbesondere ist das Polynom $X^r$
\definitionsverweis {fix}{}{} unter dieser Gruppenoperation.
}
Zu einem Vektorraum $V$ ist der Polynomring
\mathl{K[V]}{} in natürlicher Weise\zusatzfussnote {Die Formulierung \anfuehrung{in natürlicher Weise}{} kann man an dieser Stelle gut erläutern. Die angesprochene $\N$-Graduierung von
\mathl{K[V]}{} besteht unabhängig und ohne Bezug auf eine Basis. Man kann einen Polynomring auch mit einer $\Z^n$-Graduierung versehen, doch ist dies abhängig von einer gewählten Basis} {.} {}
$\N$-\definitionsverweis {graduiert}{}{,}
und zwar besteht die $d$-te Stufe aus Linearkombinationen von Produkten der Form
\mathl{f_1 \cdots f_d}{,} wobei die $f_j$ Linearformen sind.
{Lineare Operation/Polynomring/Homogenität/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {} {G \times V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ auf $V$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {induzierte Operation}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[V]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {homogen}{}{,}
d.h. für jedes
\mathl{\sigma \in G}{} und
\mathl{f \in R_d}{} ist auch
\mathl{f \sigma \in R_d}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.2. }
Die Stufen $R_d$ sind also $G$-\definitionsverweis {invariante Untervektorräume}{}{} von $R$.
\zwischenueberschrift{Invariantenringe}
Da eine Operation einer Gruppe von links auf einem geometrischen Objekt in natürlicher Weise zu einer Operation von rechts auf dem Ring der Funktionen führt, werden wir im Folgenden die Operationen auf einem Ring generell von rechts schreiben.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} operiert
\zusatzklammer {von rechts} {} {.}
Dann bezeichnet man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R^G
}
{ =} { { \left\{ f\in R \mid f \sigma = f \text{ für alle } \sigma \in G \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als den
\definitionswort {Invariantenring}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {Fixring}{}} {\zusatzfussnote {Die Bezeichnung Fixring ist eigentlich genauer, da in ihr ausgedrückt wird, dass jedes Element daraus auf sich selbst abgebildet wird, und nicht, wie invariant häufig verwendet wird, dass gewisse Teilmengen zwar auf sich abgebildet werden, dabei aber Elemente der Teilmenge durchaus vertauscht werden können. Die Bezeichnung Invariantenring ist aber dennoch die gebräuchlichere} {.} {}} {}
von $R$ unter der Operation von $G$.
}
Das ist in der Tat wieder ein Ring, ein Unterring von $R$. Die $0$ und die $1$ sind invariant, da alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Ringautomorphismen operieren. Ebenso ist mit invarianten Funktionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch das Negative $-f$, deren Summe
\mathl{f+g}{} und deren Produkt
\mathl{fg}{} invariant.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die als Gruppe von
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{}
operiere. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei also
\maabbdisp {\sigma} { R} {R
} {}
ein $K$-Algebrahomomorphismus. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ R^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der
\definitionsverweis {Fixring}{}{}
$R^G$ ist selbst eine $K$-Algebra. Zu einer
\definitionsverweis {linearen Operation}{}{}
von $G$ auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ ist die zugehörige Operation von $G$ auf dem Polynomring
\mathl{K[V]}{} eine Operation als Gruppe von
$K$-\definitionsverweis {Automorphismen}{}{.}
}
{Gruppenoperation/Kommutativer Ring/Einheiten/Körper/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Für die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( R^G \right) }^{\times}
}
{ =} { R^G \cap R^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {
Wenn $R$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} ist, so ist auch $R^G$ ein Körper.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 4.4. }
\inputfaktbeweis
{Lineare Gruppenoperation/Invariantenring/Graduiert/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {} {G \times V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ auf $V$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Fixring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R^G
}
{ \subseteq }{ R
}
{ = }{ K[V]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {induzierten Operation}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[V]}{} ein
$\N$-\definitionsverweis {graduierter Unterring}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( R^G \right) }_d
}
{ =} { (R_d)^G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die $d$-te Stufe des Fixringes ist der
\definitionsverweis {Fixraum}{}{}
der induzierten Operation auf der $d$-ten Stufe des Polynomringes.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Lemma 4.1.
In diesem Fall ist also die Bestimmung des Fixringes gleichbedeutend mit der Bestimmung des
\definitionsverweis {Fixraumes}{}{}
zu
\mathl{K[V]_d}{} für jedes
\mathl{d \in \N}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} der eine $r$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} $\zeta$ besitzt. Wir betrachten die Operation von
\mathl{\mu_{ r } { \left( K \right) }}{} auf $K$ und auf
\mathl{K[X]}{} durch skalare Multiplikation
\zusatzklammer {siehe
Beispiel 3.13
und
Beispiel 4.10} {} {.}
Der
\definitionsverweis {Fixring}{}{}
zu dieser Operation ist
\mathl{K[X^r]}{.} Dazu muss man nur die Wirkungsweise des Erzeugers $\zeta$ der Gruppe verstehen und nach
Lemma 4.15
muss man nur die
\zusatzklammer {eindimensionalen} {} {}
\definitionsverweis {homogenen Stufen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[X]_d
}
{ = }{K \cdot X^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten. Die induzierte Operation ist
\mathl{X^d \mapsto \zeta^{d} X^d}{.} Dies ist genau dann die Identität, wenn $d$ ein Vielfaches von $r$ ist. Daher bilden die Stufen
\mathl{K[X]_{mr}}{} den Invariantenring.
}
\inputbeispiel{}
{
Zur natürlichen Operation der
\definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{} $S_n$ auf $K^n$ bzw. auf
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist der
\definitionsverweis {Fixring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[X_1 , \ldots , X_n]^{S_n}
}
{ =} { K[E_1 , \ldots , E_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die $E_i$ die
\definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynome}{}{}
sind. Dies ist die Existenzaussage von
Satz 1.7;
die dortige Eindeutigkeitsaussage bedeutet, dass der Fixring isomorph zu einem Polynomring in $n$ Variablen ist.
}
\inputbemerkung
{
}
{
Die Elemente eines
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{}
\mathl{K[V]}{} zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ kann man als Funktionen von $V$ nach $K$ auffassen. Wenn eine
\definitionsverweis {lineare Operation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ auf $V$ vorliegt, so ist ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ K[V]^G
}
{ \subseteq }{ K[V]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine invariante Funktion von $V$ nach $K$ im Sinne von
Definition 2.21.
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f ( \sigma (v))
}
{ =} { (f \sigma) (v)
}
{ =} { f(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $K$ unendlich ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung, d.h. ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ K[V]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das aufgefasst als Funktion auf $V$ invariant ist, gehört zum Invariantenring
\mathl{K[V]^G}{,} siehe
Aufgabe 4.13.
Bei endlichem $K$ muss die Umkehrung nicht gelten, siehe
Beispiel 4.19.
Wir werden später sehen, dass es zu jedem kommutativen Ring einen topologischen Raum gibt, auf dem man Elemente des Invariantenringes zu einer Gruppenoperation als invariante Abbildungen auffassen kann.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die natürliche Operation der
\definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ S_2
}
{ \cong }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ { \left( \Z/(p) \right) }^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ p
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {,}
das nichttriviale Element vertauscht die Komponenten
\zusatzklammer {das entspricht der Matrix \mathlk{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}{} bzw. \mathlk{X \longleftrightarrow Y}{}} {} {.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { XY^p -X^pY
}
{ =} { X { \left( Y^p-Y \right) } - Y { \left( X^p-X \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dieses Polynom, aufgefasst als Funktion auf $V$, die Nullfunktion und somit insbesondere
$G$-\definitionsverweis {invariant}{}{.}
Dagegen ist $f$ kein
\definitionsverweis {symmetrisches Polynom}{}{}
und gehört nicht zu
\mathl{\Z/(p)[X,Y]^G}{.}
}
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