Kurs:Körper- und Galoistheorie/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 0 4 4 0 2 3 2 0 0 1 0 9 0 0 0 0 3 6 40




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Ordnung einer endlichen Gruppe .
  2. Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler in einer Gruppe .
  3. Eine primitive Einheit in .
  4. Der Zerfällungskörper zu einem Polynom über einem Körper .
  5. Eine Kummererweiterung zum Exponenten eines Körpers , der eine primitive -te Einheitswurzel enthält.
  6. Das Kreisteilungspolynom .


Lösung

  1. Die Ordnung der Gruppe ist die Anzahl der Elemente von .
  2. Die Quotientenmenge

    mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo .

  3. Eine Einheit heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
  4. Es sei eine Körpererweiterung, über der in Linearfaktoren zerfällt. Es seien die Nullstellen von . Dann nennt man

    einen Zerfällungskörper von .

  5. Eine Galoiserweiterung heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten , wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von ist.
  6. Das Polynom

    wobei die primitiven komplexen Einheitswurzeln sind, heißt das -te Kreisteilungspolynom.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
  2. Der Satz über die algebraische Struktur von über einem Körper .
  3. Der Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.


Lösung

  1. Sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Es sei die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und

    die kanonische Projektion. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus

    ist.
  2. Ein Polynomring über einem Körper ist ein Hauptidealbereich.
  3. Sei eine endliche Körpererweiterung. Dann ist genau dann eine einfache Körpererweiterung, wenn es nur endlich viele Zwischenkörper gibt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Lösung

Wir machen den Ansatz . Einsetzen ergibt

wobei der Koeffizient zu gleich werden soll. Dieser Koeffizient ist , also muss man
wählen. Damit wird das Polynom zu

und die äquivalente Gleichung ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.


Lösung

Da und teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente mit . Die Voraussetzung, dass das Produkt teilt, schreiben wir als . Damit gilt

was zeigt, dass ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung

die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis sowie ihre Norm und ihre Spur.


Lösung

Die vier Matrizen sind

Die Normen sind der Reihe nach und die Spuren sind der Reihe nach .


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element in einer Körpererweiterung irreduzibel ist.


Lösung

Es sei eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in die Beziehung

Da ein Körper ist, muss ein Faktor sein, sagen wir . Da aber unter allen Polynomen , die annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen und den gleichen Grad besitzen und folglich muss konstant (), also eine Einheit sein.


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die -graduierte Körpererweiterung

und den durch , , , gegebenen Charakter. Bestimme


Lösung

Es ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei die elfte primitive komplexe Einheitswurzel. Wie oft wird in der Familie , , die durchlaufen?


Lösung

Dies geschieht für

also neunmal.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (9 Punkte)

Bestimme die Zwischenkörper des -ten Kreisteilungskörpers . Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.


Lösung

Es ist ein primitives Element der Einheitengruppe von . Somit ist der durch (es sei eine primitive siebte Einheitswurzel)

gegebene Automorphismus ein Erzeuger der Galoisgruppe. Die nichttrivialen Untergruppen der Galoisgruppe werden durch

bzw. durch

erzeugt.

Unter der ersten Abbildung wird auf und auf abgebildet. Die Abbildung ist also die Einschränkung der komplexen Konjugation und der Fixkörper ist

Dabei ist klar. Es ist

und

Somit ist mit

Also ist

Unter der Abbildung wird auf und auf abgebildet. Somit wird unter dieser Abbildung auf sich selbst abgebildet und ist ein Fixelement unter diesem Automorphismus. Es ist

Das Element

erfüllt als die quadratische Gleichung

Daher ist

und der Fixkörper ist . Zur trivialen Untergruppe gehört der volle Kreisteilungskörper

und zur vollen Gruppe gehört .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Unmöglichkeit der Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal.


Lösung

Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge und dem Volumen . Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das Minimalpolynom von ist , da dieses offenbar annulliert und nach Satz 17.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) irreduzibel ist. Nach Korollar 25.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist nicht konstruierbar, da keine Zweierpotenz ist.


Aufgabe (6 (5+1) Punkte)

Es sei und

eine Drehung um den Drehpunkt um den Winkel , , mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.


Lösung

Es sei ein konstruierbarer Punkt in der Ebene und der ebenfalls konstruierbare Bildpunkt unter der Drehung. Es ist und die Abstände von und von zu sind gleich. Die Verbindungsgerade zwischen und ist konstruierbar und damit ist auch die Mittelsenkrechte konstruierbar. Diese verläuft durch . Die gleiche Konstruktion mit und liefert eine weitere konstruierbare Mittelsenkrechte, die durch verläuft. Der Fall, dass diese beiden Mittelsenkrechten übereinstimmen, kann nur bei

eintreten, doch dann ist

konstruierbar. Bei

ist der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten und daher ebenfalls konstruierbar.

b) Nach Teil a) sind die Gerade durch und durch und die Gerade durch und durch konstruierbar. Zwischen ihnen befindet sich an der Drehwinkel .