Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 7

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass ein Element genau dann eine Einheit in ist, wenn in das Ideal zusammen mit das Einheitsideal erzeugt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring

Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zu einem Ideal welches enthält, sei das zugehörige Ideal in . Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

gibt.


Aufgabe

Wende Satz 7.5 auf den kanonischen Ringhomomorphismus zu einem kommutativen Ring an.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine - Algebra mit einem Element . Wende Satz 7.5 auf den zugehörigen Einsetzungshomomorphismus , , an.


Aufgabe

Zeige, dass die komplexen Zahlen die Restklassendarstellung

besitzen.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und der Ring der stetigen Funktionen auf . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

ein Ideal in ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?


Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe *

Berechne in .


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.


Aufgabe

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen mit der Eigenschaft, dass das Polynom über in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe *

Betrachte den Körper . Führe im Polynomring die Polynomdivision

aus, wobei die Restklasse von in bezeichnet.


Aufgabe

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms in .

b) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von über .


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über . Es sei ein Ideal mit Erzeugern

wobei mit sei. Für seien die Elemente aus , die entstehen, wenn man in die Variable durch ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

vorliegt.


Aufgabe *

Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe *

Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe

Bestimme das Inverse von

im Körper .


Aufgabe

Es sei eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom irreduzibel über ist.

b) Schließe daraus, dass

über den Grad vier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

mit der Multiplikation in eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe

Es sei

der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen und nicht isomorph sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

nicht surjektiv ist.


Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Betrachte den Körper mit Elementen.

  1. Zeige, dass kein Quadrat in ist und folgere, dass
    ein Körper ist.
  2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

    und berechne

  3. Finde das Inverse zu in .
  4. Zeige, dass kein Quadrat in ist, dafür aber in .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Inverse von

im Körper .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

über .


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