Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 7

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $p\in R$, $p\ne 0$. Zeige, dass $p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring $R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔞$ ein Ideal mit dem Restklassenring  $S=R/𝔞$.  Zeige, dass ein Element $f\in R$ genau dann eine Einheit in $S$ ist, wenn in $R$ das Ideal $𝔞$ zusammen mit $f$ das Einheitsideal erzeugt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔞$ ein Ideal mit dem Restklassenring

$S=R/𝔞.$

Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die $𝔞$ umfassen.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔞$ ein Ideal mit dem Restklassenring  $S=R/𝔞$.  Zu einem Ideal  $I\subseteq R$,  welches $𝔞$ enthält, sei  $I^{\prime }=IR/𝔞$  das zugehörige Ideal in $S$. Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

$R/I\cong S/I^{\prime }$

gibt.

Aufgabe

Wende Satz 7.5 auf den kanonischen Ringhomomorphismus $\mathbb{Z}\to R$ zu einem kommutativen Ring $R$ an.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $A$ eine $K$-Algebra mit einem Element  $f\in A$.  Wende Satz 7.5 auf den zugehörigen Einsetzungshomomorphismus $K[X]⟶A$, $X⟼f$, an.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexen Zahlen $ℂ$ die Restklassendarstellung

$ℂ\cong ℝ[X]/(X^2+1)$

besitzen.

Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und  $R={\mathrm{C}}^0(X,ℝ)$  der Ring der stetigen Funktionen auf $X$. Es sei  $T\subseteq X$  eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

$I=\{f\in R\mid f{|}_T=0\}$

ein Ideal in $R$ ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

$R/I⟶{\mathrm{C}}^0(T,ℝ).$

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb{Z}/(7)$.

Aufgabe *

Berechne $3^{1457}$ in $\mathbb{Z}/(13)$.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass $a^p-a$ ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${𝔽}_5[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad $3$.

Aufgabe

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass das Polynom $X^6-1$ über $\mathbb{Z}/(p)$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe *

Betrachte den Körper

$K={𝔽}_4=\mathbb{Z}/(2)[U]/(U^2+U+1).$

Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision

$X^4+u{X}^3+(u+1)X+1\text{ durch }u{X}^2+X+u+1$

aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.

Aufgabe

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms  $F=X^3+X+2$  in $\mathbb{Z}/(5)[X]$.

b) Zeige, dass durch

$K=\mathbb{Z}/(5)[T]/(T^2-2)$

ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimme die Primfaktorzerlegung von  $F=X^3+X+2$  über  $K=\mathbb{Z}/(5)[T]/(T^2-2)$. 

Aufgabe *

Es sei $p$ eine Primzahl und sei $f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{Z}/(p)$ vom Grad  $d\ge p$.  Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $<p$ derart gibt, dass für alle Elemente  $a\in \mathbb{Z}/(p)$  die Gleichheit

$f(a)=g(a)$

gilt.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R[X]$ der Polynomring über $R$. Es sei  $𝔞\subseteq R[X]$  ein Ideal mit Erzeugern

$𝔞=(F_0,F_1,\dots ,F_n),$

wobei  $F_0=X-r$  mit  $r\in R$  sei. Für  $i\ge 1$  seien $G_i$ die Elemente aus $R$, die entstehen, wenn man in $F_i$ die Variable $X$ durch $r$ ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

$R[X]/𝔞\cong R/(G_1,\dots ,G_n)$

vorliegt.

Aufgabe *

Bestimme in $\mathbb{Q}[X]/(X^3+4X^2-7)$ das Inverse von $\frac{1}{3}x+5$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$).

Aufgabe *

Bestimme in $\mathbb{Q}[X]/(X^3-7)$ das Inverse von $3x+4$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$).

Aufgabe

Bestimme das Inverse von

$1+\sqrt{2}+3\sqrt{10}$

im Körper $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{5}]$.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom $X^4-p$ irreduzibel über $\mathbb{Q}$ ist.

b) Schließe daraus, dass

$\mathbb{Q}[\sqrt[4]{p}]\subseteq ℝ$

über $\mathbb{Q}$ den Grad vier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper

$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt[4]{p}].$

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb{Q}[\mathrm{i}{]}^{\times }⟶({\mathbb{Q}}_{+},1,\cdot ),z=x+\mathrm{i}y⟼|z{|}^2=x^2+y^2,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

$S_{\mathbb{Q}}^1=\{z\in \mathbb{Q}[\mathrm{i}]\mid |z|=1\}$

mit der Multiplikation in $\mathbb{Q}[\mathrm{i}]$ eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei

$S_{\mathbb{Q}}^1=\{z\in \mathbb{Q}[\mathrm{i}]\mid |z|=1\}$

der rationale Einheitskreis mit der aus $\mathbb{Q}[\mathrm{i}{]}^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von  $\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\mathrm{i}\in S_{\mathbb{Q}}^1$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb{Z}/(11)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring ${𝔽}_3[X]$ alle normierten irreduziblen Polynome vom Grad $4$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$S_{\mathbb{Q}}^1=\{z\in \mathbb{Q}[\mathrm{i}]\mid |z|=1\}$

der rationale Einheitskreis mit der aus $\mathbb{Q}[\mathrm{i}{]}^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen $S_{\mathbb{Q}}^1$ und $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ nicht isomorph sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\mathbb{Q}[\mathrm{i}{]}^{\times }⟶({\mathbb{Q}}_{+},1,\cdot ),x+\mathrm{i}y⟼x^2+y^2,$

nicht surjektiv ist.

Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Betrachte den Körper  $\mathbb{Z}/(13)=\{0,1,2,\mathrm{...},12\}$  mit $13$ Elementen.

1. Zeige, dass $5$ kein Quadrat in $\mathbb{Z}/(13)$ ist und folgere, dass

   $\mathbb{Z}/(13)[X]/(X^2-5)=:\mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$

   ein Körper ist.

2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

   $\mathbb{Z}/(13)\subset \mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$

   und berechne

   $(2+3\sqrt{5})(1+11\sqrt{5})(10+7\sqrt{5})$

3. Finde das Inverse zu $7+3\sqrt{5}$ in $\mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$.
4. Zeige, dass $-5$ kein Quadrat in $\mathbb{Z}/(13)$ ist, dafür aber in $\mathbb{Z}/(13)[\sqrt{5}]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Inverse von

$2+3\sqrt{5}+\sqrt{7}+3\sqrt{35}$

im Körper $\mathbb{Q}[\sqrt{5},\sqrt{7}]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

$\sqrt{3}+\sqrt{5}$

über $\mathbb{Q}$.