Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 7

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {a}}$. Zeige, dass ein Element ${}f\in R$ genau dann eine Einheit in ${}S$ ist, wenn in ${}R$ das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ zusammen mit ${}f$ das Einheitsideal erzeugt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {a}}$. Zu einem Ideal ${}I\subseteq R$ welches ${}{\mathfrak {a}}$ enthält, sei ${}I^{\prime }=IR/{\mathfrak {a}}$ das zugehörige Ideal in ${}S$. Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

${}R/I\cong S/I^{\prime }\,$

gibt.

Aufgabe

Wende Satz 7.5 auf den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \rightarrow R$ zu einem kommutativen Ring ${}R$ an.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ eine ${}K$- Algebra mit einem Element ${}f\in A$. Wende Satz 7.5 auf den zugehörigen Einsetzungshomomorphismus ${}K[X]\longrightarrow A$, ${}X\longmapsto f$, an.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ die Restklassendarstellung

${}{\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)\,$

besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}R=\operatorname {C} ^{0}\,(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

${}I={\left\{f\in R\mid f\vert _{T}=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

$R/I\longrightarrow \operatorname {C} ^{0}\,(T,\mathbb {R} ).$

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe *

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${}F_{5}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}3$.

Aufgabe

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass das Polynom ${}X^{6}-1$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe *

Betrachte den Körper ${}K=\mathbb {F} _{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)$. Führe im Polynomring ${}K[X]$ die Polynomdivision

$X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1{\text{ durch }}uX^{2}+X+u+1$

aus, wobei ${}u$ die Restklasse von ${}U$ in ${}K$ bezeichnet.

Aufgabe

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}F=X^{3}+X+2$ in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$.

b) Zeige, dass durch

$K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$

ein Körper mit ${}25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von ${}F=X^{3}+X+2$ über ${}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ ein Ideal mit Erzeugern

${}{\mathfrak {a}}=(F_{0},F_{1},\ldots ,F_{n})\,,$

wobei ${}F_{0}=X-r$ mit ${}r\in R$ sei. Für ${}i\geq 1$ seien ${}G_{i}$ die Elemente aus ${}R$, die entstehen, wenn man in ${}F_{i}$ die Variable ${}X$ durch ${}r$ ersetzt. Zeige, dass eine Ringisomorphie der Restklassenringe

${}R[X]/{\mathfrak {a}}\cong R/(G_{1},\ldots ,G_{n})\,$

vorliegt.

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)$ das Inverse von ${}{\frac {1}{3}}x+5$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)$ das Inverse von ${}3x+4$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe

Bestimme das Inverse von

$1+{\sqrt {2}}+3{\sqrt {10}}$

im Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}]$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom ${}X^{4}-p$ irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$ ist.

b) Schließe daraus, dass

${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\subseteq \mathbb {R} \,$

über ${}\mathbb {Q}$ den Grad vier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper

${}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,z=x+{\mathrm {i} }y\longmapsto \vert {z}\vert ^{2}=x^{2}+y^{2},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

${}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

mit der Multiplikation in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei

${}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

der rationale Einheitskreis mit der aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von ${}{\frac {3}{5}}+{\frac {4}{5}}{\mathrm {i} }\in S_{\mathbb {Q} }^{1}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring ${}F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}4$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

der rationale Einheitskreis mit der aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen ${}S_{\mathbb {Q} }^{1}$ und ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ nicht isomorph sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,x+{\mathrm {i} }y\longmapsto x^{2}+y^{2},$

nicht surjektiv ist.

Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Betrachte den Körper ${}\mathbb {Z} /(13)=\{0,1,2,...,12\}$ mit ${}13$ Elementen.

1. Zeige, dass ${}5$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(13)$ ist und folgere, dass

   ${}\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-5)=:\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,$

   ein Körper ist.

2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

   ${}\mathbb {Z} /(13)\subset \mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,$

   und berechne

   $(2+3{\sqrt {5}})(1+11{\sqrt {5}})(10+7{\sqrt {5}})$

3. Finde das Inverse zu ${}7+3{\sqrt {5}}$ in ${}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$.
4. Zeige, dass ${}-5$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(13)$ ist, dafür aber in ${}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Inverse von

$2+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}+3{\sqrt {35}}$

im Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

${\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}$

über ${}\mathbb {Q}$.