Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 18

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Kummererweiterungen

Wir haben in der letzten Vorlesung gesehen, dass sich einige Eigenschaften einer Galoiserweiterung vereinfachen, wenn die Galoisgruppe abelsch ist. Beispielsweise ist dann jeder Zwischenkörper selbst galoissch über dem Grundkörper. Man spricht von abelschen Galoiserweiterungen.[1] Wichtige Beispiele solcher abelschen Körpererweiterungen sind Erweiterungen von endlichen Körpern und graduierte Körpererweiterungen, wenn hinreichend viele Einheitswurzeln im Grundkörper vorhanden sind.[2] Unter dieser Bedingung folgt umgekehrt, dass sich eine abelsche Erweiterung graduieren lässt. Dies ist der Inhalt der Kummertheorie.


Definition  

Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Eine Galoiserweiterung heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten , wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von ist.



Satz  

Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Wenn eine -graduierte Körpererweiterung ist, so ist eine Kummererweiterung zum Exponenten .
  2. Sei eine Kummererweiterung zum Exponenten mit Galoisgruppe . Es sei die Charaktergruppe von . Zu sei[3]

    Dann ist eine -graduierte Körpererweiterung.

Beweis  

(1). Dies ist eine Neuformulierung von Satz 14.11.
(2). Nach Satz Anhang 8.3 sind sämtliche Automorphismen diagonalisierbar. Da die Galoisgruppe abelsch ist, folgt aus Satz Anhang 8.4. die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen (). Das heißt, dass man mit eindimensionalen -Untervektorräumen schreiben kann, die unter jedem auf sich abgebildet werden. Zu jedem und jedem ist dabei für jedes , das Element beschreibt also den Eigenwert von auf . Die Zuordnung

ist dabei ein Charakter. Es ist , da ja die zu gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen

ist und jeder Charakter tritt als ein auf. Also ist . Die Stufe zum konstanten Charakter ist . Für und und ist

also , so dass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.


Ein Beispiel wie zeigt, dass eine graduierte Körpererweiterung galoissch sein kann mit einer nichtkommutativen Galoisgruppe.



Korollar  

Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine Kummererweiterung zum Exponenten mit Galoisgruppe , zugehöriger Charaktergruppe und zugehöriger Graduierung

Es seien die homogenen Elemente von .

Dann ist die natürliche Inklusion

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis  

Die Charaktergruppe besitzt wegen der Voraussetzung über die Einheitswurzeln nach Lemma 14.10 den gleichen Exponenten wie . Für ein homogenes Element gilt also insbesondere ,[4] so dass die linke Menge eine Teilmenge der rechten ist. Die Multiplikation ist links und rechts gleich, so dass eine Untergruppe vorliegt. Zum Nachweis der Surjektivität sei  mit vorgegeben. Wir zeigen, dass ein solches Element einen Charakter der Galoisgruppe definiert. Zu ist

Der Bruch ist also eine -te Einheitswurzel und gehört somit zu . Für zwei Automorphismen ist dabei

so dass

ein Charakter ist. Wegen ist , also homogen.




Korollar  

Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine Kummererweiterung zum Exponenten .

Dann ist eine Radikalerweiterung.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz 18.2 und aus Lemma 12.10  (5).


Innerhalb der Radikalerweiterungen sind die Kummererweiterungen speziell, nämlich von der folgenden Gestalt.



Satz  

Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei eine Körpererweiterung.

Dann ist genau dann eine Kummererweiterung zum Exponenten , wenn es eine Beschreibung

mit gibt.

Beweis  

Aus Satz 18.2 und Lemma 12.10  (3) folgt, dass eine Kummererweiterung die angegebene Radikaldarstellung besitzt.
Zum Beweis der Umkehrung sei mit . Wir müssen zeigen, dass diese Erweiterung galoissch mit abelscher Galoisgruppe ist. Es sei eine primitive -te Einheitswurzel. Die Produkte erfüllen ebenfalls . Da man die als von verschieden annehmen kann, und primitiv ist, sind diese Produkte für jedes untereinander verschieden. Dies bedeutet, dass die Polynome über in verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Damit ist der Zerfällungskörper dieser separablen Polynome, so dass nach Satz 16.6 eine Galoiserweiterung vorliegt. Sei die Galoisgruppe dieser Erweiterung. Für jedes und jedes ist ebenfalls eine Lösung der Gleichung und daher ist mit einem gewissen (von und abhängigen) . Für zwei Automorphismen ist daher

Somit wirken die Automorphismen auf dem Erzeugendensystem kommutativ und daher ist . Damit ist die Galoisgruppe abelsch.
Für jedes ist ferner

mit einem gewissen . Also ist , so dass ein Vielfaches des Exponenten ist.



Beispiel  

Der achte Kreisteilungskörper über , also die (siehe Beipiel 9.15) (mehrfach) graduierte Körpererweiterung

ist eine Kummererweiterung zum Exponenten mit Galoisgruppe . Die gemäß Satz 18.2 zugehörige -Graduierung ist

Nach Korollar 18.3 gilt , d.h. die Menge der rationalen Quadratwurzeln von sind einfach beschreibbar. Es gibt aber auch noch weitere Wurzeln aus rationalen Zahlen in , beispielsweise die achte Einheitswurzel , die eine vierte Wurzel von ist.




Das Lemma von Gauss und das Eisensteinkriterium

In der nächsten Vorlesung werden wir uns mit Kreisteilungskörpern beschäftigen. Dazu brauchen wir einige wichtige Irreduzibilitätskriterien für Polynome aus .

Die folgende Aussage heißt Lemma von Gauß.



Lemma  

Es sei ein nichtkonstantes Polynom derart, dass in nur Faktorzerlegungen  mit möglich sind.

Dann ist irreduzibel in .

Beweis  

 Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung  mit nicht-konstanten Polynomen . Sowohl in als auch in kommen nur endlich viele Nenner aus vor, so dass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner multiplizieren kann und somit eine Darstellung  mit erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei die Primfaktorzerlegung von . Nach Aufgabe 3.19 ist auch im Polynomring prim. Da es das Produkt teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir . Dann kann man mit kürzen und erhält eine Gleichung der Form

Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung

mit nicht konstanten Polynomen  im Widerspruch zur Voraussetzung.




Lemma  

Sei ein Integritätsbereich und sei ein Polynom. Es sei ein Primelement mit der Eigenschaft, dass den Leitkoeffizienten nicht teilt, alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass nicht den konstanten Koeffizienten teilt.

Dann besitzt keine Zerlegung mit nicht-konstanten Polynomen .

Beweis  

 Sei angenommen, dass es eine Zerlegung mit nicht-konstanten Polynomen gebe, und sei und . Dann ist und dies ist ein Vielfaches von , aber nicht von . Da prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir , aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von ein Vielfaches von , da sonst und damit auch ein Vielfaches von wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei der kleinste Index derart, dass kein Vielfaches von ist. Es ist , da nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten , für den

gilt. Hierbei sind und alle Summanden , , Vielfache von . Daher muss auch der letzte Summand ein Vielfaches von sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da und .


Das folgende Kriterium für die Irreduzibilität von Polynomen heißt Eisenstein-Kriterium.



Satz  

Es sei ein Polynom. Es sei eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass den Leitkoeffizienten nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass nicht den konstanten Koeffizienten teilt.

Dann ist irreduzibel in .

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 18.8 und Lemma 18.7.




Fußnoten
  1. Es ist eine generelle Bezeichnungsphilosophie, dass ein Eigenschaftswort zu einer Galoiserweiterung sich auf die Galoisgruppe bezieht.
  2. Eine weitere wichtige Beispielsklasse sind die Kreisteilungskörper, siehe die beiden nächsten Vorlesungen.
  3. Hier orientiert sich die Indizierung - entgegen der sonst üblichen additiven Schreibweise für eine graduierende Gruppe - an der multiplikativen Struktur von . Insbesondere ist die Stufe zum neutralen Element.
  4. Hier verwenden wir wieder additive Schreibweise.


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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)