Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 20

In dieser Vorlesung möchten wir zunächst nachweisen, dass es sich bei einem Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$ um eine Galoiserweiterung handelt, deren Galoisgruppe abelsch ist und eine Struktur besitzt, die unmittelbar mit den Einheitswurzeln zusammenhängt.

Kreisteilungskörper als Galoiserweiterung

Wir kommen nun zur Galoiseigenschaft der Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$.

Satz

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$- te Kreisteilungskörper.

Dann ist ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe

${}\operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\,.$

Dabei entspricht der Einheit ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ derjenige Automorphismus ${}\varphi _{a}\in \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )$, der eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{a}$ abbildet.

Beweis

Nach Korollar 19.12 ist

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom ist. Dieses ist das Produkt ${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})$ über alle primitiven Einheitswurzeln und damit vom Grad ${}{\varphi (n)}$. Da der Kreisteilungskörper all diese primitiven Einheitswurzeln enthält, zerfällt das Kreisteilungspolynom über ${}K_{n}$ in Linearfaktoren und daher ist ${}K_{n}$ der Zerfällungskörper des Kreisteilungspolynoms und somit nach Satz 16.6 eine Galoiserweiterung.

Es sei nun ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel, und zwar diejenige, die bei der obigen Restklassenidentifizierung der Variablen ${}X$ entspricht. Zu ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist ${}\zeta ^{a}$ ebenfalls eine primitive Einheitswurzel. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus

$\mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,X\longmapsto \zeta ^{a}.$

Dieser ist surjektiv, da ${}\zeta ^{a}$ den Kreisteilungskörper erzeugt. Wegen ${}\Phi _{n}{\left(\zeta ^{a}\right)}=0$ induziert dies einen Automorphismus

$\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\longrightarrow \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n}),\,\zeta \longmapsto \zeta ^{a}.$

Dadurch erhalten wir eine Zuordnung

$(\mathbb {Z} /(n))^{\times }\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} ),\,a\longmapsto \varphi _{a}.$

Für ${}a,a'\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist

${}\varphi _{aa'}(\zeta )=\zeta ^{aa'}={\left(\zeta ^{a'}\right)}^{a}=\varphi _{a}{\left(\zeta ^{a'}\right)}=\varphi _{a}(\varphi _{a'}(\zeta ))=(\varphi _{a}\circ \varphi _{a'})(\zeta )\,,$

sodass ${}\varphi _{aa'}=\varphi _{a}\circ \varphi _{a'}$ gilt (da die Automorphismen auf dem Erzeuger ${}\zeta$ festgelegt sind). Die Zuordnung ist also ein Gruppenhomomorphismus. Für verschiedene Einheiten ${}a\neq a'$ ist ${}\zeta ^{a}\neq \zeta ^{a'}$ und somit ${}\varphi _{a}\neq \varphi _{a'}$. Die Abbildung ist also injektiv. Da es links und rechts ${}{\varphi (n)}$ Elemente gibt, ist die Abbildung eine Bijektion.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten den achten Kreisteilungskörper ${}K_{8}$. Die Einheitengruppe ${}(\mathbb {Z} /(8))^{\times }$ ist ${}\{1,3,5,7\}$, wobei ${}3,5,7$ die Ordnung ${}2$ besitzen. Die nach Satz 20.1 zugehörigen Körperautomorphismen sind neben der Identität die Abbildungen ${}\varphi _{3},\,\varphi _{5},\,\varphi _{7}$, die auf den Einheitswurzeln (${}\zeta$ sei eine primitive achte Einheitswurzel) folgendermaßen wirken.

$\varphi _{3}:\zeta \longleftrightarrow \zeta ^{3},\,\zeta ^{2}={\mathrm {i} }\longleftrightarrow \zeta ^{6}=-{\mathrm {i} },\,\zeta ^{5}\longleftrightarrow \zeta ^{7},$

$\varphi _{5}:\zeta \longleftrightarrow \zeta ^{5},\,{\mathrm {i} }=\zeta ^{2}\longleftrightarrow \zeta ^{10}={\mathrm {i} },\,\zeta ^{3}\longleftrightarrow \zeta ^{7},\,-{\mathrm {i} }\longleftrightarrow -{\mathrm {i} },$

und

$\varphi _{7}:\zeta \longleftrightarrow \zeta ^{7},\,{\mathrm {i} }=\zeta ^{2}\longleftrightarrow \zeta ^{14}=-{\mathrm {i} },\,\zeta ^{3}\longleftrightarrow \zeta ^{5}.$

Korollar

Zu jeder endlichen abelschen Gruppe ${}G$

gibt es eine endliche Galoiserweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$, deren Galoisgruppe gleich ${}G$ ist.

Beweis

Nach einem Satz, den wir hier nicht beweisen, lässt sich ${}G$ als Restklassengruppe einer Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ auffassen. Es sei

$q\colon {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\longrightarrow G$

der zugehörige surjektive Restklassenhomomorphismus und ${}H$ der Kern davon. Nach Satz 20.1 ist ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ die Galoisgruppe der ${}n$-ten Kreisteilungserweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$. Es sei ${}M\subseteq K_{n}$ der Fixkörper zu ${}H$. Nach Satz 17.5 ist ${}\mathbb {Q} \subseteq M$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$.

$\Box$

Es ist ein offenes Problem, ob jede endliche Gruppe als Galoisgruppe einer Galoiserweiterung von ${}\mathbb {Q}$ auftritt. Diese Fragestellung gehört zur sogenannten inversen Galoistheorie.

Galoiseigenschaften des Kompositums

Wir betrachten eine wichtige Konstruktion, das sogenannte Kompositum.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und seien ${}K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L$ zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in ${}L$). Es wird mit ${}M_{1}M_{2}$ bezeichnet.

Das Kompositum hängt vom Oberkörper ab. Wenn man von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq M_{1}$ und ${}K\subseteq M_{2}$ ausgeht, so sichert Aufgabe 10.11, dass es überhaupt einen gemeinsamen Oberkörper gibt.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche separable Körpererweiterung und sei ${}K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper ${}M$, in dem das Kompositum ${}L'=LK'$ gebildet sei.

Dann ist ${}K'\subseteq L'$ ebenfalls eine endliche separable Körpererweiterung.

Beweis

Es sei ${}K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ separabel, und seien ${}F_{i}\in K[X]$ die zu ${}x_{i}$ gehörigen (separablen) Minimalpolynome. Dann ist ${}L'=K'[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und die Minimalpolynome ${}G_{i}$ der ${}x_{i}$ über ${}K'$ sind in ${}K'[X]$ Teiler der ${}F_{i}$ und daher selbst separabel. Nach Satz 13.11 ist ${}K'\subseteq L'$ eine separable Körpererweiterung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei ${}K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper ${}M$, in dem das Kompositum ${}L'=LK'$ gebildet sei.

Dann ist ${}K'\subseteq L'$ ebenfalls eine normale Körpererweiterung.

Beweis

Wir können ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ schreiben, und wir wissen, dass es zugehörige Polynome ${}F_{i}\in K[X]$ mit ${}F_{i}(x_{i})=0$ gibt, die über ${}L$ zerfallen. Daher ist ${}L'=K'[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ und dieselben Polynome, aufgefasst in ${}K'[X]$, erfüllen die gleichen Eigenschaften. Aus Satz 15.4  (3) ergibt sich die Normalität.

$\Box$

Aus diesen zwei Lemmata ergibt sich der folgende Satz, der für die Charakterisierung der auflösbaren Körpererweiterungen wichtig ist.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und sei ${}K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper ${}M$, in dem das Kompositum ${}L'=LK'$ gebildet sei.

Dann ist ${}K'\subseteq L'$ ebenfalls eine endliche Galoiserweiterung, und für ihre Galoisgruppe gilt die natürliche Isomorphie

${}\operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\cong \operatorname {Gal} \,(L{|}L\cap K')\,.$

Beweis

Die Erweiterung ${}K'\subseteq L'$ ist normal nach Lemma 20.6 und separabel nach Lemma 20.5, also eine Galoiserweiterung aufgrund von Satz 16.6.
Zur Berechnung der Galoisgruppe gehen wir von der Einschränkungsabbildung

$\Psi \colon \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K),\,\varphi \longmapsto \varphi {|}_{L},$

aus, die wegen der Normalität von ${}K\subseteq L$ nach Satz 15.4  (4) ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ ein Automorphismus, dessen Bild unter diesem Homomorphismus trivial sei, also ${}\varphi {|}_{L}=\operatorname {Id} _{L}$. Da auch ${}\varphi {|}_{K'}=\operatorname {Id} _{K'}$ gilt, ist ${}\varphi$ auf dem Kompositum ${}L'=LK'$ die Identität, also das neutrale Element. Daher ist ${}\Psi$ nach dem Kernkriterium injektiv.
Das Bild von ${}\Psi$ ist eine Untergruppe ${}H=\operatorname {bild} \Psi \subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Aufgrund der Galoiskorrespondenz gibt es einen Zwischenkörper ${}Z$, ${}K\subseteq Z\subseteq L$, mit ${}H=\operatorname {Gal} \,(L{|}Z)$, und zwar ist ${}Z$ der Fixkörper von ${}H$. Es liegt also insgesamt die Situation

$\operatorname {Gal} \,(L'{|}K'){\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \Psi =H=\operatorname {Gal} \,(L{|}Z)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$

vor. Wir behaupten ${}L\cap K'=Z$. Für jedes ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ ist ${}\varphi {|}_{K'}=\operatorname {Id} _{K'}$, und daher ist auch ${}(\varphi {|}_{L}){|}_{L\cap K'}=\operatorname {Id} _{L\cap K'}$. Also ist ${}L\cap K'\subseteq Z$. Wenn ${}x\in Z$ ist, so bedeutet dies, dass für jedes ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L'{|}K')$ die Gleichheit ${}(\varphi {|}_{L})(x)=x$ gilt. Dann ist aber ${}x\in K'$ nach Satz 16.6, da ${}K'\subseteq L'$ eine Galoiserweiterung ist. Somit ist ${}x\in L\cap K'$. Insgesamt ist also

${}\operatorname {Gal} \,(L'{|}K')\cong \operatorname {bild} \Psi =\operatorname {Gal} \,(L{|}L\cap K')\,.$

$\Box$

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