Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$X^2-5X+3$

die Variable $X$ durch die $2\times 2$-Matrix

$\left(\begin{array}{cc}6& 7\\ -4& 5\end{array}\right)$

ersetzt.

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2$

mit  $a,b,c\in ℝ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,f(1)=0,f(3)=5.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2+d{X}^3$

mit  $a,b,c,d\in ℝ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,f(1)=2,f(2)=0,f(-1)=1.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde für die folgenden drei Mengen

$\{1,3,5,7,9,\dots \},\{1,2,4,8,16,\dots \},\{9,99,999,9999,99999,\dots \}$

(die alle die Form $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\dots \}$ besitzen) jeweils ein Polynom

$P(k)=c_0+c_{1}k+c_2{k}^2+c_3{k}^3+c_4{k}^4$

(mit Koeffizienten $c_j\in \mathbb{Q}$) mit

$P(1)=a_1,P(2)=a_2,P(3)=a_3,P(4)=a_4,P(5)=a_5.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^3-5X^2+7X-4$

die Variable $X$ durch die $2\times 2$-Matrix

$\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$

ersetzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f,g:V⟶V$

ein Endomorphismen auf einem $K$-Vektorraum $V$ und  $P\in K[X]$  ein Polynom. Zeige, dass die Gleichheit

$P(f\circ g)=P(f)\circ P(g)$

im Allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zu einer $2\times 2$-Matrix  $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$  sei

$P_M:=X^2-\mathrm{Spur}\left(M\right)X+detM.$

Zeige, dass  $P_M(M)=0$  ist.

Aufgabe Aufgabe 20.8 ändern

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

$f:V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die Menge

$\{P\in K[X]\mid P(f)=0\}$

ein Hauptideal im Polynomring $K[X]$ ist, das vom Minimalpolynom ${\mu }_f$ erzeugt wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine Matrix mit dem Minimalpolynom $X-a$. Zeige, dass $M$ die Streckung mit dem Streckungsfaktor $a$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir besprechen die Minimalpolynome zu den Elementarmatrizen.

a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix $V_{ij}$ gleich $X^2-1$ ist.

b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix $S_k(s)$ mit  $s\ne 1$  gleich

$X^2-(s+1)X+s$

ist.

c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix $A_{ij}(a)$ von der Form

$(X-1{)}^k$

ist. Was ist dabei $k$?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei  $V\ne 0$  ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu $\phi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich $X,X-1$ und $X(X-1)$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Es sei eine $n\times n$-Matrix $M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom  $P\in K[X]$  mit dem Minimalpolynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$ mit dem Minimalpolynom  $P\in K[X]$.  Es sei

$P=F_1\cdots F_k$

eine Faktorzerlegung in Polynome $F_i$ von positivem Grad. Zeige, dass $F_i(M)$ nicht bijektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\phi :K^{(\mathbb{N})}⟶K^{(\mathbb{N})},$

die durch $e_n\mapsto e_{n+1}$ festgelegt ist. Zeige, dass $\phi$ nur vom Nullpolynom annulliert wird.

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe Aufgabe 20.15 ändern

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

$1,11,21,1211,111221,312211,\mathrm{...}$

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein reelles Polynom $f$ vom Grad $\le 3$, für welches

$f(0)=-1,f(-1)=-3,f(1)=7,f(2)=21$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+c{X}^2$

mit  $a,b,c\in ℂ$  derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(\mathrm{i})=1,f(1)=1+\mathrm{i},f(1-2\mathrm{i})=-\mathrm{i}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$-X^3+6X^2-6X+27$

die Variable $X$ durch die $3\times 3$-Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 5& 4& 1\\ 7& 3& 0\end{array}\right)$

ersetzt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f:V⟶V$

ein Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$ und

$g:V⟶V$

ein Isomorphismus. Zeige, dass für jedes Polynom  $P\in K[X]$  die Gleichheit

$gP(f)g^{-1}=P(gf{g}^{-1})$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$f:\mathbb{N}⟶\mathbb{N},$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist $f$ wachsend?
2. Ist $f$ surjektiv?
3. Ist $f$ injektiv?
4. Besitzt $f$ einen Fixpunkt?

Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$f:\mathbb{N}⟶\mathbb{N},$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht. Unter einem Zyklus von $f$ der Länge $n$ verstehen wir ein  $x\in \mathbb{N}$  derart, dass  $f^n(x)=x$  ($f^n$ bezeichnet die $n$-te Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst) und  $f^i(x)\ne x$  ist für  $i=1,2,\dots ,n-1$.  Besitzt $f$ Zyklen der Länge  $n\ge 2$? 

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)