Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 16

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Die Determinante

Kann man einer quadratischen -Matrix „auf einen Blick“ ansehen, ob sie invertierbar ist? Gibt es einen Ausdruck in den Einträgen der Matrix, mit dem man dies entscheiden kann? Diese Frage wird positiv durch die Determinante beantwortet.


Definition  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine kann man die Determinante einfach ausrechnen.


Beispiel  

Für eine -Matrix

ist


Als Merkregel für eine -Matrix verwendet man die Regel von Sarrus. Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.

Beispiel  

Für eine -Matrix ist

Dies nennt man die Regel von Sarrus.




Lemma  

Für eine obere Dreiecksmatrix

ist

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix .

Beweis  

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.




Multilineare und alternierende Abbildungen

Wir führen zwei Begriffe ein, die wir im Moment hauptsächlich zum weiteren Verständnis der Determinante brauchen.


Definition  

Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Eine Abbildung

heißt multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel mit die induzierte Abbildung

-linear ist.

Bei spricht man auch von bilinear. Beispielsweise sind die Multiplikation in einem Körper , also die Abbildung

und zu einem -Vektorraum mit Dualraum die Auswertungsabbildung

bilinear.



Lemma

Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über Es sei

eine multilineare Abbildung und es seien und .

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe 16.16.



Definition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und sei . Eine multilineare Abbildung

heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in zwei Einträge übereinstimmen, also für ein Paar , so ist

Bei einer alternierenden Abbildung muss an jeder Stelle der gleiche Vektorraum stehen.



Lemma  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und sei . Es sei

eine alternierende Abbildung.

Dann gilt

D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

Beweis  

Aufgrund der Definition von alternierend und Lemma 16.6 gilt




Die Determinante ist eine alternierende Abbildung

Wir wollen zeigen, dass die oben rekursiv definierte Determinante eine multilineare und alternierende Abbildung ist, wenn man die Identifizierung

vornimmt, bei der einer Matrix das -Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel

auf, wobei die einzelnen Einträge Zeilenvektoren der Länge sind.



Satz  

Es sei ein Körper und .

Dann ist die Determinante

multilinear.

D.h., dass für jedes , für je Vektoren und für die Gleichheit

und für die Gleichheit

gilt.

Beweis  

Seien

wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also und . Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach , wobei der Fall klar ist. Für ist und

nach Induktionsvoraussetzung. Für ist und es ist . Insgesamt ergibt sich

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe 16.21.




Satz  

Es sei ein Körper und .

Dann ist die Determinante

alternierend.

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über , wobei es für nichts zu zeigen gibt. Sei also und . Die relevanten Zeilen seien und mit . Nach Definition ist . Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei für , da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

wobei ist. Die beiden Matrizen und haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile in als die -te Zeile und in als die -te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man in überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und Lemma 16.8 unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor , also ist . Setzt man dies oben ein, so erhält man


Durch die Eigenschaft, alternierend zu sein, vereinfacht sich das Berechnen der Determinante. Insbesondere kann man gut üerblicken, wie sich die Determinate bei elementaren Zeilenumformungen verhält. Wenn man eine Zeile mit einer Zahl multipliziert, so muss man die Determinante auch mit multiplizieren. Wenn man Zeilen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wenn man eine Zeile (oder ein Vielfaches davon) zu einer anderen Zeile hinzuaddiert, so ändert sich die Determinante nicht.



Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. .
  2. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
  3. ist invertierbar.
  4. .

Beweis  

Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Korollar 12.16 gezeigt. Seien die Zeilen linear abhängig. Wir können nach Zeilenvertauschen annehmen, dass ist. Dann ist nach Satz 16.10


Seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix sein.


Determinant parallelepiped.svg


Bemerkung  

Bei steht die Determinante in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im Vektoren betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf. Dieses ist definiert als

Es besteht also aus allen Linearkombinationen der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen „voluminösen“ Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung

d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.


Für einen Beweis der eben genannten Beziehung zwischen Determinante und Volumen siehe Satz 67.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)).


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