Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 9

In diesem Arbeitsblatt geht es ausschließlich um das Lebesgue-Integral, es darf nicht mit dem Riemann-Integral argumentiert werden.

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und es seien

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

und

$f\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$

Abbildungen. Zeige, dass für die Subgraphen die Beziehung

${}(\varphi \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} })^{-1}(S(f))=S(f\circ \varphi )\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass das Integral der Nullfunktion gleich ${}0$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Integral einer messbaren Funktion über einer Nullmenge gleich ${}0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum,

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare Funktion und ${}c\in {\overline {\mathbb {R} }}$. Zeige, dass

${}{\left\{(x,c)\mid f(x)=c\right\}}\subseteq M\times {\overline {\mathbb {R} }}\,$

eine Nullmenge ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, sei ${}f$ eine integrierbare nichtnegative numerische Funktionen auf ${}M$ und ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zeige, dass auch ${}af$ integrierbar ist und dass

${}\int _{M}af\,d\mu =a\cdot \int _{M}f\,d\mu \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine abzählbare Menge, die mit dem Zählmaß versehen sei, und sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann integrierbar ist, wenn die Familie ${}f(m)$, ${}m\in M$, summierbar ist, und dass in diesem Fall das Integral gleich der Summe ist.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur linearen Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto cx,$

über dem Intervall ${}[a,b]$ mit ${}c\geq 0,\,b\geq a\geq 0$.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1+\sin x,$

über dem Intervall ${}[0,2\pi ]$.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine Menge und es sei ${}T_{n}\uparrow M$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit Teilmengen ${}T_{n}\subseteq M$, ${}n\in \mathbb {N}$. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}A_{n}\subseteq M\times \mathbb {R}$ der Subgraph zur Indikatorfunktion ${}e_{T_{n}}$. Zeige, dass die ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Ausschöpfung von ${}M\times [0,1]$ bilden.

Aufgabe

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ zwei endliche Maßräume und es sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

integrierbare Funktion. Zeige

${}\int _{M\times N}fd\mu \otimes \nu =\nu (N)\cdot \int _{M}f(x)d\mu (x)\,.$

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welches ${}a\in [0,1]$ ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten?

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine integrierbare Funktion. Zeige, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass

${}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon \,$

ist

Aufgabe

Es sei

$L\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Abbildung, ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge und ${}N=L(M)$. Es sei

$N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare Funktion. Zeige

${}\int _{M}{\left(f\circ \varphi \right)}d\lambda ^{n}=\int _{N}f{\left(\det L\right)}^{-1}d\lambda ^{n}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass ${}f$ integrierbar ist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral ${}\int _{T}f\,d\lambda ^{n}$ an.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum. Zeige, dass für jedes ${}r\in \mathbb {R}$ die Abbildung

$M\times \mathbb {R} \longrightarrow M\times \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto (x,t+r),$

maßtreu ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Subgraphen zur linearen Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto cx+dy,$

(mit ${}c,d\in \mathbb {R} _{\geq 0}$) über dem Einheitsquadrat ${}[0,1]\times [0,1]$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \sin t.$

Für welches ${}a\in [0,1]$ ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten? Bestimme ${}a$ numerisch bis auf ${}5$ Nachkommastellen.