Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung 9

Integrierbare Funktionen

Wir führen nun das Lebesgue-Integral für messbare Funktionen auf einem Maßraum ein. Dieser Integralbegriff hat gegenüber dem Riemann-Integral folgende Vorteile.

1. Der Integralbegriff bekommt ein maßtheoretisches Fundament.
2. Es kann über einer (fast) beliebigen Menge integriert werden.
3. Es kann eine weit größere Funktionenklasse integriert werden.
4. Das Grenzwertverhalten von Funktionenfolgen ist einfacher.
5. Man kann Funktionen auf Nullmengen abändern, ohne das Integral zu verändern.
6. Uneigentliche Integrale werden direkt mitbehandelt.
7. Die Summe einer abzählbaren Familie reeller Zahlen ist ein Spezialfall.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge

${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$

den Subgraphen der Funktion.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare Funktion.

Dann sind der Graph ${}\Gamma (f)$ und der Subgraph ${}S(f)$ messbare Teilmengen in ${}M\times {\overline {\mathbb {R} }}$.

Beweis

Die Projektion

$p_{2}\colon M\times {\overline {\mathbb {R} }}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto y,$

ist nach Lemma 4.9 messbar, und ebenso ist

$\psi :M\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}$

messbar. Nach Lemma 4.11 und Lemma 8.3 ist dann auch die Abbildung

$\varphi :M\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {\psi \times p_{2}}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {-}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}$

messbar. Es ist

${}\Gamma (f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid y=f(x)\right\}}=\varphi ^{-1}(0)\,$

und

${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}=p_{2}^{-1}{\left({\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}\right)}\cap \varphi ^{-1}{\left({\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}\right)}\,,$

sodass diese beiden Mengen messbar sind.

$\Box$

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

${}\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$

das Integral von ${}f$ über ${}M$ (zum Maß ${}\mu$).

Diese Definition ist sowohl unmittelbar anschaulich als auch vom theoretischen Standpunkt her sehr schlagkräftig, da sie auf dem Maßbegriff beruht. Dagegen ist sie für Berechnungen direkt nicht geeignet, weshalb wir im Folgenden entsprechende Rechentechniken entwickeln werden. Diese Definition lässt die Möglichkeit zu, dass die Funktion den Wert ${}\infty$ annimmt, und dass das Integral diesen Wert annimmt. Im Fall von numerischen Funktion, die auch negative Werte annehmen können, führt man den Integralbegriff auf die Integrale der positiven und negativen Teilfunktion zurück. Dies ergibt aber nur dann Sinn, wenn beide Teilintegrale endlich sind.

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion. Dann heißt ${}f$ integrierbar, wenn die beiden Integrale ${}\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und ${}\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind. In diesem Fall nennt man

${}\int _{M}f\,d\mu =\int _{M}f_{+}\,d\mu -\int _{M}f_{-}\,d\mu \,$

das Integral von ${}f$.

Mit dieser Situation ergibt sich der leicht paradoxe Sprachgebrauch, dass eine nichtnegative Funktion stets ein Integral besitzt, dass aber, wenn dieses Integral unendlich ist, die Funktion nicht integrierbar ist. Die Integrierbarkeit ist, abgesehen von der vorausgesetzten Messbarkeit, die aber nahezu immer erfüllt ist, in erster Linie ein Endlichkeitsbegriff. In diese Richtung weist auch das folgende Lemma.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ ist integrierbar.
2. Der positive und der negative Teil von ${}f$ sind integrierbar.
3. Die Betragsfunktion ${}\vert {f}\vert$ ist integrierbar.
4. Es gibt eine integrierbare messbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   mit ${}\vert {f(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}x\in M$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist die Definition von integrierbar.
Für die Äquivalenz von (2) und (3) verwendet man die Beziehung ${}\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}$. Dabei ist der Subgraph von ${}\vert {f}\vert$ die Vereinigung der beiden Subgraphen zu ${}f_{+}$ bzw. ${}f_{-}$, wobei der Durchschnitt dieser Subgraphen aus der Menge ${}M\times \{0\}$ besteht und somit nach Aufgabe 9.4 das Maß ${}0$ besitzt. Also ist

${}{\begin{aligned}\int _{M}\vert {f}\vert \,d\mu &={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(\vert {f}\vert ))\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f_{+}))+{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f_{-}))\\&=\int _{M}f_{+}\,d\mu +\int _{M}f_{-}\,d\mu ,\end{aligned}}$

und die beiden Summanden sind genau dann endlich, wenn die Summe endlich ist.
Aus (3) folgt (4), indem man ${}h=\vert {f}\vert$ nimmt.
Wenn (4) erfüllt ist, so ist der Subgraph von ${}\vert {f}\vert$ im Subgraphen von ${}h$ enthalten, und die Monotonie des Maßes ${}\mu \otimes \lambda ^{1}$ ergibt die Endlichkeit von ${}\int _{M}\vert {f}\vert \,d\mu$, also (3). Aus (3) folgt entsprechend (2), da der Subgraph von ${}f_{+}$ bzw. von ${}f_{-}$ eine Teilmenge des Subgraphen zu ${}\vert {f}\vert$ ist.

$\Box$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ setzt man

${}\int _{T}f\,d\mu :=\int _{T}(f{|}_{T})\,d\mu \,,$

d.h. man schaut sich die auf den Teilmaßraum ${}T$ eingeschränkte Funktion an. Man könnte genauso gut die Funktion ${}f$ durch diejenige Funktion ${}{\tilde {f}}$ ersetzen, die auf ${}T$ mit ${}f$ übereinstimmt und die außerhalb davon gleich ${}0$ ist. Wenn man die Indikatorfunktion ${}e_{T}$ zu einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq M$ heranzieht, so ergibt sich

${}\int _{M}e_{T}\,d\mu =\int _{T}1\,d\mu =\mu (T)\,.$

Diese Beschreibung des Maßes als ein Integral kann durchaus nützlich sein.

Man kann den Subgraphen als

${}S(f)=S^{o}(f)\uplus \Gamma (f)\,$

schreiben, wobei ${}\Gamma (f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid y=f(x)\right\}}$ der Graph ist und

${}S^{o}(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y<f(x)\right\}}\,$

gesetzt wird. Das folgende Lemma zeigt, dass der Graph eine Nullmenge ist und dass man somit den Subgraphen durch dieses ${}S^{o}(f)$ ersetzen kann. Dies ist für einige Ausschöpfungseigenschaften von Vorteil.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion.

Dann ist der Graph ${}\Gamma (f)$ eine Nullmenge in ${}M\times {\overline {\mathbb {R} }}$.

Beweis

Die Mengen ${}f^{-1}(\infty )\times \{\infty \}$ und ${}f^{-1}(-\infty )\times \{-\infty \}$, die beide Teilmengen des Graphen sind, sind Nullmengen in ${}M\times {\overline {\mathbb {R} }}$. Man kann also annehmen, dass von vornherein eine messbare Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

vorliegt. Ferner können wir annehmen, dass ${}\mu$ ein endliches Maß ist, da zu einer Ausschöpfung ${}M_{n}\uparrow M$ mit ${}\mu (M_{n})<\infty$ auch ${}M_{n}\times \mathbb {R}$ eine Ausschöpfung von ${}M\times \mathbb {R}$ ist. Wenn der Durchschnitt des Graphen mit allen ${}M_{n}\times \mathbb {R}$ das Maß ${}0$ hat, so auch der Gesamtgraph.  Nehmen wir nun an, dass ${}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(\Gamma (f)\right)}>0$ ist. Es ist

${}\Gamma (f)=\biguplus _{n\in \mathbb {Z} }{\left(\Gamma (f)\cap (M\times [n,n+1[)\right)}\,$

eine disjunkte abzählbare Vereinigung, sodass mindestens einer dieser „Streifen“ ein positives Maß haben muss. Wir können ${}M$ durch ${}f^{-1}([n,n+1[)$ ersetzen und daher annehmen, dass das Bild von ${}f$ in ${}[n,n+1]$ liegt. Wir betrachten die abzählbar unendlich vielen Verschiebungen

$\Gamma (f)+q{\text{ mit }}q\in \mathbb {Q} \cap [0,1].$

Diese sind paarweise disjunkt und sie liegen alle in ${}M\times [n,n+2]$. Wegen der Translationsinvarianz von ${}\lambda ^{1}$ ist auch für jedes ${}q$ die Abbildung

$M\times \mathbb {R} \longrightarrow M\times \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto (x,t+q),$

maßtreu (man betrachte die Quader, die das Produktmaß festlegen, siehe Aufgabe 9.15), und daher besitzt jede Verschiebung des Graphen das gleiche Maß wie der Graph selbst. Aus

${}{\begin{aligned}\sum _{q\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(\Gamma (f)+q\right)}&=(\mu \otimes \lambda ^{1}){\left(\biguplus _{q\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}(\Gamma (f)+q)\right)}\\&\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(M\times [n,n+2])\\&=\mu (M)\cdot 2\\&<\infty \end{aligned}}$

ergibt sich ein Widerspruch.

$\Box$

Die Tschebyschow-Abschätzung

Für einen endlichen Maßraum ${}M$ und eine integrierbare Funktion

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

ist ${}\int _{M}fd\mu$ eine reelle Zahl. Bei ${}\mu (M)\in \mathbb {R} _{+}$ nennt man den Quotienten ${}h={\frac {\int _{M}fd\mu }{\mu (M)}}$ den Durchschnittswert oder Mittelwert der Funktion ${}f$, da ja ${}\int _{M}fd\mu$ den gleichen Wert hat wie das Integral

${}\int _{M}hd\mu =h\cdot \mu (M)\,$

zur konstanten Funktion ${}h$.

Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow (1821-1894)

Die folgende Aussage nennt man Tschebyschow-Abschätzung oder Tschebyschow-Ungleichung.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

Beweis

Es sei ${}T={\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}$. Dann ist

${}T\times [0,a]\subseteq S(f)\,,$

also

${}a\cdot \mu (T)=(\mu \otimes \lambda ^{1})(T\times [0,a])\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(S(f))=\int _{M}f\,d\mu \,.$

$\Box$

Bildmaße und allgemeine Transformationsformel

Satz

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$- endlicher Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine messbare Abbildung. Es sei ${}\nu$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$, das ebenfalls als ${}\sigma$- endlich vorausgesetzt sei, und es sei

$f\colon N\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine ${}\nu$- integrierbare Funktion.

Dann ist auch ${}f\circ \varphi$ ${}\mu$- integrierbar, und es gilt

${}\int _{N}f\,d\nu =\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu \,.$

Beweis

Für nichtnegatives ${}f$ ergibt sich dies unter Verwendung von Aufgabe 5.6 und Aufgabe 9.1 aus

${}{\begin{aligned}\int _{N}f\,d\nu &={\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&={\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}_{*}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}\right)}(S(f))\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left({\left(\varphi \times \operatorname {Id} \right)}^{-1}(S(f))\right)}\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f\circ \varphi ))\\&=\int _{M}(f\circ \varphi )\,d\mu .\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich auch der allgemeine Fall.

$\Box$

Bemerkung  

Wenn ${}M=[c,d]$ und ${}N=[a,b]$ und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare bijektive streng wachsende Funktion ist, so gilt für eine stetige Funktion

$f\colon N\longrightarrow \mathbb {R}$

die Substitutionsregel

${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{c}^{d}f(\varphi (s))\cdot \varphi '(s)\,ds\,.$

Um eine mit der allgemeinen Transformationsformel vergleichbare Substitutionsformel zu haben, muss man auf ${}M$ die Funktion ${}g=f\circ \varphi$ mit dem Maß ${}\lambda ^{1}$ und auf ${}N$ die Funktion ${}f=(f\circ \varphi )\circ \varphi ^{-1}$ betrachten. Die Substitutionsregel liefert dann

${}\int _{c}^{d}f(\varphi (s))ds=\int _{a}^{b}f(\varphi (\varphi ^{-1}(t)))\cdot (\varphi ^{-1})'(t)dt=\int _{a}^{b}f(t){\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}}dt\,.$

Links steht das Integral ${}\int _{M}f\circ \varphi d\lambda ^{1}$, also muss rechts das Integral ${}\int _{N}fd\varphi _{*}\lambda ^{1}$ stehen. Somit wird das Bildmaß ${}\varphi _{*}\lambda ^{1}$ durch die Dichte ${}{\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(t))}}$ bezüglich ${}\lambda ^{1}$ gegeben. Das Bildmaß ist auch durch

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi _{*}\lambda ^{1}\right)}{\left([r,s]\right)}&=\lambda ^{1}{\left(\varphi ^{-1}([r,s])\right)}\\&=\lambda ^{1}{\left([\varphi ^{-1}(r),\varphi ^{-1}(s)]\right)}\\&=\varphi ^{-1}(s)-\varphi ^{-1}(r)\\&=\int _{r}^{s}{\frac {1}{\varphi '(\varphi ^{-1}(u))}}du\end{aligned}}$

bestimmt.

Fußnoten

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