Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 25

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Beweise das folgende Minorantenkriterium.


Es seien und zwei Reihen von nichtnegativen reellen Zahlen. Die Reihe sei divergent und es gelte für alle .

Dann ist auch die Reihe divergent.


Aufgabe

Seien . Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe

Sei , . Zeige, dass die Familie

summierbar ist.


Aufgabe

Sei , . Berechne zur summierbaren Familie

die Teilsummen

zu jedem und berechne .


Aufgabe

Sei , . Zu sei

Berechne zu jedem zur summierbaren Familie

die Teilsummen

und berechne .


Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.


Aufgabe

Es seien

zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.


Aufgabe

Sei  , . Bestimme (in Abhängigkeit von ) die Summen der beiden Reihen


Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu in der Produktreihe aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.


Aufgabe

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der dritten Potenz


Aufgabe

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion

nicht nach oben beschränkt ist und dass das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.[1]


Aufgabe

Beweise das Additionstheorem für den Sinus, also die Gleichheit

für .




Aufgaben zum Abgeben

Die nächste Aufgabe befasst sich mit der -adischen Entwicklung von reellen Zahlen, vergleiche Aufgabe 24.16.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei  , . Es sei eine Ziffernfolge

(wobei ist) gegeben und es sei

die durch diese Ziffernfolge definierte reelle Zahl. Zeige, dass die Ziffernfolge genau dann ab einer gewissen Stelle periodisch ist, wenn eine rationale Zahl ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine vorkommt. Zeige, dass

summierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei , , eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe

absolut konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine konvergente Reihe mit . Zeige, dass die durch

definierte Folge eine Nullfolge ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der vierten Potenz


Aufgabe (8 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

summierbar ist oder nicht.


Aufgabe (5 Punkte)

Für und sei

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für die Restgliedabschätzung

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes die Folge

bestimmt divergent gegen ist.[2]




Fußnoten
  1. Aus der Stetigkeit, die wir aber noch nicht bewiesen haben, folgt daraus, dass das Bild der reellen Exponentialfunktion ist.
  2. Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion.



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