Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 25

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Beweise das folgende Minorantenkriterium.

Es seien ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ und ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ zwei Reihen von nichtnegativen reellen Zahlen. Die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ sei divergent und es gelte ${}a_{k}\geq b_{k}$ für alle ${}k\in \mathbb {N}$.

Dann ist auch die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ divergent.

Aufgabe

Es seien ${}a,b\in \mathbb {R} _{+}$. Zeige, dass die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{ak+b}}$

divergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}$

divergiert.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

summierbar ist.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Berechne zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$s_{k}=\sum _{\ell \in \mathbb {N} }z^{k}z^{\ell }$

zu jedem ${}k\in \mathbb {N}$ und berechne ${}\sum _{k\in \mathbb {N} }s_{k}$.

Aufgabe

Sei ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <1$. Zu ${}j\in \mathbb {Z}$ sei

$I_{j}={\left\{(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}\mid k-\ell =j\right\}}.$

Berechne zu jedem ${}j\in \mathbb {Z}$ zur summierbaren Familie

$z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$

die Teilsummen

$t_{j}=\sum _{(k,\ell )\in I_{j}}z^{k}z^{\ell }$

und berechne ${}\sum _{j\in \mathbb {Z} }t_{j}$.

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.

Aufgabe *

Es seien

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}{\text{ und }}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$

zwei absolut konvergente Potenzreihen in ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}{\text{ mit }}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$

gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ , ${}\vert {z}\vert <1$. Bestimme (in Abhängigkeit von ${}z$) die Summen der beiden Reihen

$\sum _{k=0}^{\infty }z^{2k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }z^{2k+1}.$

Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu ${}z^{6}$ in der Produktreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.

Aufgabe

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen ${}z^{0},z^{1},z^{2},z^{3},z^{4}$ in der dritten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)}^{3}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Funktion

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,$

nicht nach oben beschränkt ist und dass ${}0$ das Infimum (aber nicht das Minimum) der Bildmenge ist.

Aufgabe

Beweise das Additionstheorem für den Sinus, also die Gleichheit

${}\sin(z+w)=\sin z\,\cos w+\cos z\,\sin w\,$

für ${}z,w\in {\mathbb {C} }$.

Aufgaben zum Abgeben

Die nächste Aufgabe befasst sich mit der ${}g$-adischen Entwicklung von reellen Zahlen, vergleiche Aufgabe 24.16.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}g\in \mathbb {N}$ , ${}g\geq 2$. Es sei eine Ziffernfolge

$z_{i}\in \{0,1,\ldots ,g-1\}{\text{ für }}i\in \mathbb {Z} ,\,i\leq k,$

(wobei ${}k\in \mathbb {N}$ ist) gegeben und es sei

$r=\sum _{i=k}^{-\infty }z_{i}g^{i}$

die durch diese Ziffernfolge definierte reelle Zahl. Zeige, dass die Ziffernfolge genau dann ab einer gewissen Stelle periodisch ist, wenn ${}r$ eine rationale Zahl ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N} _{+}$ diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus allen Zahlen besteht, in deren Dezimalentwicklung keine ${}9$ vorkommt. Zeige, dass

$\sum _{n\in M}{\frac {1}{n}}$

summierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}a_{k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

absolut konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ eine konvergente Reihe mit ${}a_{k}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$. Zeige, dass die durch

$y_{n}:=\sum _{k\geq n/2}^{n}a_{k}$

definierte Folge eine Nullfolge ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen ${}z^{0},z^{1},z^{2},z^{3},z^{4},z^{5}$ in der vierten Potenz

${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)}^{4}\,.$

Aufgabe (8 Punkte)

Bestimme, ob die Familie

${\frac {1}{a^{2}+b^{2}}},\,a,b\in \mathbb {N} _{+},$

summierbar ist oder nicht.

Aufgabe (5 Punkte)

Für ${}N\in \mathbb {N}$ und ${}z\in {\mathbb {C} }$ sei

$R_{N+1}(z)=\exp z-\sum _{n=0}^{N}{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für ${}\vert {z}\vert \leq 1+{\frac {1}{2}}N$ die Restgliedabschätzung

$\vert {R_{N+1}(z)}\vert \leq {\frac {2}{(N+1)!}}\vert {z}\vert ^{N+1}$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von

$\exp 1.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes ${}d\in \mathbb {N}$ die Folge

${\left({\frac {\exp n}{n^{d}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

bestimmt divergent gegen ${}+\infty$ ist.

Fußnoten