Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 25

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Der große Umordnungssatz



Satz  

Es sei , , eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe . Es sei eine weitere Indexmenge und zu jedem sei eine Teilmenge gegeben mit und für .[1]

Dann sind die Teilfamilien , , summierbar und für ihre Summen gilt, dass die Familie , , summierbar ist mit

Beweis  

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Korollar 24.16. Es sei vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge mit

für alle endlichen Teilmengen  mit . Es gibt eine endliche Teilmenge derart, dass

ist. Wir behaupten, dass dieses für die Familie  , , die Summationseigenschaft für erfüllt. Sei dazu  mit endlich und . Da die Familien  , , summierbar sind mit den Summen , gibt es für jedes ein endliches mit

für alle endlichen  mit . Wir wählen nun für jedes ein solches so, dass zusätzlich gilt. Dann ist und daher . Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen




Cauchy-Produkt von Reihen

Definition (Cauchy-Produkt)  

Zu zwei Reihen und komplexer Zahlen heißt die Reihe

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.



Lemma  

Es seien

zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt absolut konvergent und für die Summe gilt

Beweis  

Wir müssen für die Partialsummen

zeigen, dass gegen den Limes der Folge konvergiert. Es ist

Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und und Nullfolgen sind (siehe Aufgabe *****), ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge gegen das Produkt der Grenzwerte. Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung .




Potenzreihen

Definition  

Es sei eine Folge von komplexen Zahlen und eine weitere komplexe Zahl. Dann heißt die Reihe

die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .

Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Basis ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in darstellt.

Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon das letzte Mal kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe , die für konvergiert und dort die Funktion darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt.



Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion

Definition  

Für jedes heißt die Reihe

die Exponentialreihe in .

Dies ist also die Reihe



Satz  

Für jedes ist die Exponentialreihe

absolut konvergent.

Beweis  

Für ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

Dies ist für kleiner als . Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.


Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion



Definition  

Die Abbildung

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

 Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die Exponentialfunktion zur Basis ist, und dass mit der früher eingeführten eulerschen Zahl übereinstimmt.




Satz  

Für komplexe Zahlen gilt

Beweis  

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

mit . Diese Reihe ist nach Lemma 25.3 absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der -te Summand der Exponentialreihe von nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.




Korollar  

Die Exponentialfunktion

besitzt folgende Eigenschaften.
  1. Es ist .
  2. Für jedes ist . Insbesondere ist .
  3. Für ganze Zahlen ist .
  4. Für reelles ist .
  5. Für reelle Zahlen ist und für ist .
  6. Die reelle Exponentialfunktion[2] ist streng wachsend.

Beweis  

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

aufgrund von Satz 25.8.
(3) folgt aus Satz 25.8 und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus


(5). Für reelles ist , so dass nach (4) ein Faktor sein muss und der andere Faktor . Für ist

da ja für gerades die Summationsglieder übereinstimmen und für ungerades die linke Seite größer als die rechte ist. Also ist .
(6). Für reelle ist und daher nach (5) , also




Die trigonometrischen Reihen

Definition  

Für heißt

die Kosinusreihe und

die Sinusreihe zu .

Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen

heißen Sinus und Kosinus. Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen.



Satz  

Die Funktionen

und

besitzen für folgende Eigenschaften.

  1. Für ist
  2. Es ist und .
  3. Es ist und .
  4. Es ist
    und
  5. Es gelten die Additionstheoreme

    und

  6. Es gilt

Beweis  

(1). Aufgrund von Satz 25.8 gilt

so dass wir nur noch den hinteren Faktor betrachten müssen. Nach Aufgabe ***** und Fakt *****  (1) gilt


(2) und (3) folgen direkt aus der Definition der Reihen.
(4) folgt aus (1) und (3).
(5). Es ist

Das Additionstheorem für den Sinus folgt ähnlich.
(6). Aus dem Additionstheorem für den Kosinus angewendet auf und aufgrund von (2) ergibt sich



Für reelle sind und wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles das Paar ein Punkt auf dem Einheitskreis ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als schreiben lässt, wobei man als Winkel interpretieren kann. Dabei tritt die Periode auf, wobei wir die Kreiszahl eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden.



Fußnoten
  1. D.h. die bilden eine disjunkte Vereinigung von .
  2. Unter der reellen Exponentialfunktion verstehen wir hier die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reellen Zahlen. Wir werden bald sehen, dass sie mit der Exponentialfunktion zur Basis übereinstimmt.



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