Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 19

Metrische Räume

Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors und den Abstand zwischen zwei Vektoren definieren. Die wichtigsten Eigenschaften dieses euklidischen Abstandes werden im Begriff der Metrik bzw. des metrischen Raumes axiomatisiert.

Definition (Metrik oder Distanzfunktion)

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

${}d{\left(x,y\right)}=0$ genau dann, wenn ${}x=y$ ist (Definitheit),
${}d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
${}d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar ${}(M,d)$ , wobei ${}M$ eine Menge und ${}d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ eine Metrik ist.

Man kann leicht aus den Bedingungen folgen, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert ${}d(x,y)$ gibt den Abstand der Punkte ${}x$ und ${}y$ bezüglich ${}d$ an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

{}d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert :={\sqrt {\left\langle v-w,v-w\right\rangle }}\,

der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach Lemma 18.15 die Eigenschaften einer Metrik. Insbesondere ist im ${}\mathbb {R} ^{n}$ der durch

{}d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,

gegebene euklidische Abstand eine Metrik.

Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den ${}\mathbb {R} ^{n}$ und den ${}{\mathbb {C} }^{n}\cong \mathbb {R} ^{2n}$ stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ mit der durch den Betrag definierten Metrik ein metrischer Raum. Als gemeinsame Bezeichnung für ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$ werden wir ${}{\mathbb {K} }$ verwenden.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist

{}d{\left(x,y\right)}=\sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}-y_{i}}\vert \,

eine Metrik, die man die Summenmetrik nennt.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist

{}d{\left(x,y\right)}={\max {\left(\vert {x_{i}-y_{i}}\vert ,i=1,\ldots ,n\right)}}\,

eine Metrik, die man die Maximumsmetrik nennt.

Beispiel

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Dann ist ${}T$ ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man

{}d_{T}(x,y):=d(x,y)\,

für alle ${}x,y\in T$ setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.

Beispiel

Zu einer beliebigen Menge ${}M$ kann man durch

{}d(x,y):={\begin{cases}0,\,&{\text{ falls }}x=y\,,\\1,\,&{\text{ falls }}x\neq y\,,\end{cases}}\,\,

eine Metrik definieren, die die diskrete Metrik heißt.

Definition (Offene und abgeschlossene Kugel)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, ${}x\in M$ und ${}\epsilon >0$ eine positive reelle Zahl. Es ist

{}U{\left(x,\epsilon \right)}={\left\{y\in M\mid d(x,y)<\epsilon \right\}}\,

die offene und

{}B\left(x,\epsilon \right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq \epsilon \right\}}\,

die abgeschlossene ${}\epsilon$ -Kugel um ${}x$ .

Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für ${}x\in \mathbb {R}$ ist ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ einfach das beidseitig offene Intervall ${}]x-\epsilon ,x+\epsilon [$ .

Definition (Offene Mengen in metrischen Räumen)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen (in $(M,d)$ ), wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

{}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,

existiert.

Definition (Abgeschlossene Mengen in metrischen Räumen)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge ${}A\subseteq M$ heißt abgeschlossen, wenn das Komplement ${}M\setminus A$ offen ist.

Achtung! Abgeschlossen ist nicht das „Gegenteil“ von offen. Die allermeisten Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge.

Lemma

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Die leere Menge ${}\emptyset$ und die Gesamtmenge ${}M$ sind offen.

Es sei ${}I$ eine beliebige Indexmenge und seien ${}U_{i}$ , ${}i\in I$ , offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung
$\bigcup _{i\in I}U_{i}$

offen.

Es sei ${}I$ eine endliche Indexmenge und seien ${}U_{i}$ , ${}i\in I$ , offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt
$\bigcap _{i\in I}U_{i}$

offen.

Beweis

Siehe Aufgabe 19.1.

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Definition (Beschränkte Teilmenge)

Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ eines metrischen Raumes ${}M$ heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl ${}b$ mit

d{\left(x,y\right)}\leq b{\text{ für alle }}x,y\in T

gibt.

Folgen in metrischen Räumen

Definition (Konvergente Folge)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$ . Man sagt, dass die Folge gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$ , ${}\epsilon >0$ , gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

{}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

{}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.

Diese Definition stimmt natürlich für ${}X=\mathbb {R}$ mit unserem bisherigen Begriff für konvergente Folge überein. Allerdings hatten wir, als wir diesen Begriff für angeordnete Körper einführten, die reellen Zahlen selbst noch nicht zur Verfügung.

Lemma

Der ${}\mathbb {R} ^{m}$ sei mit der euklidischen Metrik versehen und sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{m}$ mit

{}z_{n}={\left(z_{1n},\ldots ,z_{mn}\right)}\,.

Dann konvergiert die Folge im ${}\mathbb {R} ^{m}$ genau dann, wenn alle Komponentenfolgen ${}{\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ konvergieren.

Beweis

Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen ${}w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$ . Wir behaupten, dass die ${}i$ -te Komponentenfolge ${}{\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}w_{i}$ konvergiert. Sei (ohne Einschränkung) ${}i=1$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ mit ${}d{\left(z_{n},w\right)}\leq \epsilon$ für alle ${}n\geq n_{0}$ . Daher ist

{}{\begin{aligned}\vert {z_{1n}-w_{1}}\vert &={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+{\left(z_{2n}-w_{2}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&=d{\left(z_{n},w\right)}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}

Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die ${}i$ -te Folge den Grenzwert ${}w_{i}$ besitzen möge, und sei ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir setzen ${}w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$ und behaupten, dass die Folge gegen ${}w$ konvergiert. Zu ${}\epsilon /m$ gibt es für jede Komponentenfolge ein ${}n_{0i}$ derart, dass ${}\vert {z_{in}-w_{i}}\vert \leq \epsilon /m$ für alle ${}n\geq n_{0i}$ gilt. Dann gilt für alle

{}n\geq n_{0}:={\max {\left(n_{0i},i=1,\ldots ,m\right)}}\,

die Beziehung

{}{\begin{aligned}d{\left(z_{n},w\right)}&={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\epsilon ^{2}}{m}}}\\&={\frac {\epsilon }{\sqrt {m}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}

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Insbesondere konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn die zugehörigen Folgen der Realteile und der Imaginärteile konvergieren.

Definition (Häufungspunkt)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$ . Ein Punkt ${}x\in M$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ unendlich viele Folgenglieder ${}x_{n}$ mit ${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon$ gibt.

Definition (Teilfolge)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$ . Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$ , ${}i\longmapsto n_{i}$ , heißt die Folge

i\longmapsto x_{n_{i}}

eine Teilfolge der Folge.

Satz

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge.

Dann ist ${}T$ genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ , die in ${}M$ konvergiert, bereits in ${}T$ konvergiert.

Beweis

Es sei zunächst ${}T$ abgeschlossen und eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ gegeben, die in ${}M$ gegen ${}x\in M$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ${}x\in T$ ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt ${}x$ im offenen Komplement von ${}T$ und daher gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass der gesamte ${}\epsilon$ -Ball ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ im Komplement von ${}T$ liegt. Also ist

{}T\cap U{\left(x,\epsilon \right)}=\emptyset \,.

Da die Folge aber gegen ${}x$ konvergiert, gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass alle Folgenglieder ${}x_{n}$ , ${}n\geq n_{0}$ , zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in ${}T$ liegen, ist dies ein Widerspruch.
Es sei nun ${}T$ nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in ${}T$ konstruieren, die in ${}M$ konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu ${}T$ gehört. Da ${}T$ nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement ${}U:=M\setminus T$ nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt ${}x\in U$ derart, dass in jedem ${}\epsilon$ -Ball von ${}x$ auch Punkte außerhalb von ${}U$ , also in ${}T$ liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ der Durchschnitt

{}T\cap U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}\neq \emptyset \,.

Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element ${}x_{n}$ und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in ${}T$ . Die Folge konvergiert gegen ${}x$ , da man sich hierzu auf

{}\epsilon =1/n\,

beschränken kann und alle Folgenglieder ${}x_{m}$ , ${}m\geq n$ , in ${}U{\left(x,{\frac {1}{m}}\right)}\subseteq U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}$ liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und ${}x\notin T$ ist, konvergiert die Folge in ${}T$ nicht.

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Korollar

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen. Es sei ${}A\subseteq T$ eine in ${}T$ abgeschlossene Teilmenge.

Wenn das Supremum ${}{\operatorname {sup} \,(A)}$ in ${}T$ existiert, so ist ${}{\operatorname {sup} \,(A)}\in A$ .

Beweis

Es sei ${}s={\operatorname {sup} \,(A)}\in T$ . Zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es Elemente ${}x_{n}\in A$ , ${}x_{n}\leq s$ , und mit ${}s-x_{n}\leq {\frac {1}{n}}$ . Andernfalls wäre nämlich ${}s-{\frac {1}{n}}$ eine kleinere obere Schranke von ${}A$ . Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert also gegen ${}s\in T$ und aufgrund von Satz 19.16 ist ${}s\in A$ .

\Box

Wenn man z.B. das offene Intervall ${}(0,1)$ in ${}\mathbb {R}$ nimmt und ${}A=T=(0,1)$ betrachtet, so ist ${}A$ abgeschlossen in ${}T$ , das Supremum dieser Menge gehört aber nicht dazu. Ein wichtiger Spezialfall ist das folgende Korollar.