Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 18

Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

${}\mu _{\lambda }=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

gilt.

Beweis

Wenn ${}\varphi$ diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag ${}\lambda$ trägt als Linearfaktor ${}X-\lambda$ bei.

Für die Umkehrung seien ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte und

${}\mu _{i}:=\mu _{\lambda _{i}}(\varphi )=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ sein. Nach Fakt ***** ist die Summe der Eigenräume

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\subseteq V\,$

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich ${}n$, sodass Gleichheit vorliegt. Nach Fakt ***** ist ${}\varphi$ diagonalisierbar.

$\Box$

Der Satz von Cayley-Hamilton

Arthur Cayley (1821-1895)

William Hamilton (1805-1865)

Einer der Höhepunkte dieses Kurses ist der Satz von Cayley-Hamilton. Um ihn formulieren zu können müssen wir uns zunächst klar machen, dass man in Polynome auch quadratische Matrizen einsetzen kann. Dabei ersetzt man an jeder Stelle die Variable ${}X$ durch die Matrix ${}M$ und muss die Potenzen ${}M^{i}$ als das ${}i$-te Matrixprodukt von ${}M$ mit sich selbst verstehen und die Addition als die (komponentenweise) Addition von Matrizen interpretieren. Ein Skalar ${}a$ wird dabei als das ${}a$-fache der Einheitsmatrix interpretiert. Für das Polynom ${}P=3X^{2}-5X+2$ und die Matrix

$M={\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}$

ist also

${}{\begin{aligned}P(M)&=3{\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}^{2}-5{\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}+2\\&={\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16&12\\9&13\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}40&16\\12&36\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zu einer fixierten Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ gibt es also eine Einsetzungsabbildung

$K[X]\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,P\longmapsto P(M).$

Dies ist - ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu ${}a\in K$ - ein Ringhomomorphismus, d.h. es gelten die Beziehungen

$(P+Q)(M)=P(M)+Q(M),\,(P\cdot Q)(M)=P(M)\circ Q(M){\text{ und }}1(M)=E_{n}.$

Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Es sei

${}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,$

das charakteristische Polynom zu ${}M$.

Dann gilt

${}\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0\,.$

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

Beweis

Wir fassen die Matrix ${}XE_{n}-M$ als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper ${}K(X)$ liegen. Die adjungierte Matrix

$(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }$

liegt ebenfalls in ${}\operatorname {Mat} _{n}(K(X))$. Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von ${}(n-1)\times (n-1)$-Untermatrizen von ${}XE_{n}-M$. In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable ${}X$ maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der ${}(n-1)$-ten Potenz vorkommt. Wir schreiben

$(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }=X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0}\,$

mit Matrizen

${}A_{i}\in \operatorname {Mat} _{n}(K)\,,$

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu ${}X^{i}$ die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Satz 15.10 gilt

${}{\begin{aligned}\chi _{M}E_{n}&=(XE_{n}-M)\circ (XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }\\&=(XE_{n}-M)\circ (X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0})\\&=X^{n}A_{n-1}+X^{n-1}(A_{n-2}-M\circ A_{n-1})+X^{n-2}(A_{n-3}-M\circ A_{n-2})+\cdots +X^{1}(A_{0}-M\circ A_{1})-M\circ A_{0}.\end{aligned}}$

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von ${}X$ aufteilen, dann ist

$\chi _{M}E_{n}=X^{n}E_{n}+X^{n-1}c_{n-1}E_{n}+X^{n-2}c_{n-2}E_{n}+\cdots +X^{1}c_{1}E_{n}+c_{0}E_{n}\,.$

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen

${\begin{matrix}E_{n}&=&A_{n-1}\\c_{n-1}E_{n}&=&A_{n-2}-M\circ A_{n-1}\\c_{n-2}E_{n}&=&A_{n-3}-M\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}E_{n}&=&A_{0}-M\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$

Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit ${}M^{n},M^{n-1},M^{n-2},\ldots ,M^{1},E_{n}$ und erhalten das Gleichungssystem

${\begin{matrix}M^{n}&=&M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-1}M^{n-1}&=&M^{n-1}\circ A_{n-2}-M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-2}M^{n-2}&=&M^{n-2}\circ A_{n-3}-M^{n-1}\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}M^{1}&=&MA_{0}-M^{2}\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$

Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade ${}\chi _{M}\,(M)$. Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir ${}0$, da jeder Teilsummand ${}M^{i+1}\circ A_{i}$ einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist ${}\chi _{M}\,(M)=0$.

$\Box$

Euklidische Vektorräume

Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und das Verhältnis von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum vorliegen.

Definition

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, ${}x_{1},x_{2}\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn vorne zwei Vektorräume stehen), Symmetrie und positive Definitheit.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)=({\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)},{\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i},$

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Definition

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem euklidischen Vektorraum ${}V$ ist jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf ${}U$ einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man nennt zwei Vektoren ${}v,w\in V$ orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

ist.

Definition

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

das orthogonale Komplement von ${}U$.

Definition

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für }}{\text{alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren kann man leicht zeigen, dass es in jedem euklidischen Vektorraum Orthonormalbasen gibt, siehe Aufgabe 40.5.

Norm und Abstand

Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor ${}v\in V$ die reelle Zahl

${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

die Norm von ${}v$.

Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm ${}1$ und sie stehen senkrecht aufeinander.

Satz (Abschätzung von Cauchy-Schwarz)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$.

Beweis

Bei ${}w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${}w\neq 0$ und damit auch ${}\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

$\Box$

Bemerkung  

Für von ${}0$ verschiedene Vektoren ${}v$ und ${}w$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$ folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

${}-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,$

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ${}[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{}} \angle (v,w) := \arccos \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert } \, Die trigonometrischen Funktionen werden wir bald einführen.. }

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Die obige Gleichung kann man auch als

${}\left\langle v,w\right\rangle =\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \cdot \cos \left(\angle (v,w)\right)\,$

schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Beweis

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus

${}\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda ^{2}\left\langle v,v\right\rangle =\lambda ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\left\langle v+w,v+w\right\rangle =\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\left\langle v,w\right\rangle \leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \,$

Aufgrund von Satz 18.10 ist dies ${}\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 18.9.

$\Box$

Definition (Abstand)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zu zwei Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,$

den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ${}u,v,w\in V$).

1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 18.11.

$\Box$

Isometrien

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ eine Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle ${}u,v\in V$ ist ${}d(\varphi (u),\varphi (v))=d(u,v)$.
3. Für alle ${}v\in V$ ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$.

Beweis

Die Richtungen ${}(1)\Rightarrow (2)$ und ${}(2)\Rightarrow (3)$ sind Einschränkungen und ${}(3)\Rightarrow (1)$ folgt aus Lemma 18.13.

$\Box$

Satz

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Isometrie.

Dann besitzt jeder Eigenwert von ${}\varphi$ den Betrag ${}1$.

Beweis

Es sei ${}\varphi (v)=\lambda v$ mit ${}v\neq 0$, d.h. ${}v$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\lambda$. Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

Wegen ${}\Vert {v}\Vert \neq 0$ folgt daraus ${}\vert {\lambda }\vert =1$, also ${}\lambda =\pm 1$.

$\Box$

Im Allgemeinen muss es keine Eigenwerte geben (bei ungerader Dimension allerdings schon).

Fußnoten

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