Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesung 18

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Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen



Satz  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle mit der algebraischen Vielfachheit die Gleichheit

gilt.

Beweis  

Wenn diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag trägt als Linearfaktor bei.

Für die Umkehrung seien die verschiedenen Eigenwerte und

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich sein. Nach Fakt ***** ist die Summe der Eigenräume

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich , so dass Gleichheit vorliegt. Nach Fakt ***** ist diagonalisierbar.




Der Satz von Cayley-Hamilton


Einer der Höhepunkte dieses Kurses ist der Satz von Cayley-Hamilton. Um ihn formulieren zu können müssen wir uns zunächst klar machen, dass man in Polynome auch quadratische Matrizen einsetzen kann. Dabei ersetzt man an jeder Stelle die Variable durch die Matrix und muss die Potenzen als das -te Matrixprodukt von mit sich selbst verstehen und die Addition als die (komponentenweise) Addition von Matrizen interpretieren. Ein Skalar wird dabei als das -fache der Einheitsmatrix interpretiert. Für das Polynom

und die Matrix

ist also

Zu einer fixierten Matrix gibt es also eine Einsetzungsabbildung

Dies ist - ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu - ein Ringhomomorphismus, d.h. es gelten die Beziehungen

Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt.



Satz  

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Es sei

das charakteristische Polynom zu .

Dann gilt

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

Beweis  

Wir fassen die Matrix als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper liegen. Die adjungierte Matrix

liegt ebenfalls in . Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von -Untermatrizen von . In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable maximal in der ersten Potenz vor, so dass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der -ten Potenz vorkommt. Wir schreiben

mit Matrizen

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Satz 15.10 gilt

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von aufteilen, dann ist

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen

Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit und erhalten das Gleichungssystem

Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade . Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir , da jeder Teilsummand einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist .




Euklidische Vektorräume

Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und das Verhältnis von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum[1] vorliegen.


Definition  

Sei ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

mit folgenden Eigenschaften:

  1. Es ist

    für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.

  2. Es ist

    für alle .

  3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn vorne zwei Vektorräume stehen), Symmetrie und positive Definitheit.


Beispiel  

Auf dem ist die Abbildung

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Eine einfache Rechnung zeigt, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.



Definition  

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem euklidischen Vektorraum ist jeder Untervektorraum selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.


Definition  

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Man nennt zwei Vektoren orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

ist.


Definition  

Sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann heißt

das orthogonale Komplement von .


Definition  

Sei ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

gilt.

Mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren kann man leicht zeigen, dass es in jedem euklidischen Vektorraum Orthonormalbasen gibt, siehe Aufgabe 18.21.



Norm und Abstand

Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.


Definition  

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann nennt man zu einem Vektor die reelle Zahl

die Norm von .

Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm und sie stehen senkrecht aufeinander.



Satz (Ungleichung von Cauchy-Schwarz)  

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

für alle .

Beweis  

Bei ist die Aussage richtig. Sei also und damit auch . Damit hat man die Abschätzungen

Multiplikation mit und Wurzelziehen ergibt das Resultat.


Bemerkung  

Für zwei von verschiedene Vektoren und in einem euklidischen Vektorraum folgt aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle {{}} \angle (v,w) := \operatorname{arccos} \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert } \, Die trigonometrischen Funktionen werden wir bald einführen.. }

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen und .




Lemma  

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

  1. ,
  2. genau dann, wenn ist.
  3. Für und gilt
  4. Für gilt

Beweis  

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus


Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

Aufgrund von Satz 18.10 ist dies . Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.



Lemma

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm .

Dann gilt die Beziehung

Beweis

Siehe Aufgabe *****.



Definition (Abstand)  

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zu zwei Vektoren nennt man

den Abstand zwischen und .



Lemma

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist .
  4. Es ist

Beweis

Siehe Aufgabe *****.




Isometrien

Definition  

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Dann heißt eine Isometrie, wenn für alle gilt:



Lemma  

Es seien und euklidische Vektorräume und sei

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für alle ist .
  3. Für alle ist .

Beweis  

Die Richtungen und sind Einschränkungen und folgt aus Lemma 18.13.




Satz  

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Isometrie.

Dann besitzt jeder Eigenwert von den Betrag .

Beweis  

Es sei mit , d.h. ist ein Eigenvektor zum Eigenwert . Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

Wegen folgt daraus , also .

Im Allgemeinen muss es keine Eigenwerte geben (bei ungerader Dimension allerdings schon).



Fußnoten
  1. Auch für komplexe Vektorräume gibt es Skalarprodukte, was wir aber nicht behandeln werden.



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