Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 3 3 3 7 8 6 2 2 2 4 5 4 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt von Mengen und .
  2. Der Real- und der Imaginärteil einer komplexen Zahl .
  3. Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.
  4. Der Tangens.
  5. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Lösung

  1. Die Menge

    heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.

  2. Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil und den Imaginärteil von .
  3. Eine Teilmenge der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen mit gibt.
  4. Die Funktion

    heißt Tangens.

  5. Das Supremum von sämtlichen Untersummen von unteren Treppenfunktionen von heißt das Unterintegral von .
  6. Man nennt

    den Kern von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
  2. Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.
  3. Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.


Lösung

  1. Ein von verschiedenes Polynom vom Grad besitzt maximal Nullstellen.
  2. Die Exponentialfunktion

    ist differenzierbar mit

  3. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.


Aufgabe (1 Punkt)

Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 (erster Ferientag) und endeten am 6.1.2016 (letzter Ferientag). Wie lange dauerten die Ferien?


Lösung

Tage.


Aufgabe (3 Punkte)

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.


Lösung Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.


Lösung

Eine ungerade Zahl hat die Form , die Summe der ersten ungeraden Zahlen ist also gleich

Wir behaupten, dass dies gleich ist. Für ist die Aussage richtig, da die Summe gleich ist. Sei die Aussage nun für ein schon bewiesen. Dann ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass gilt.


Lösung

Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten

Aufgrund der Körperaxiome ist . Wir müssen also nur noch die Möglichkeit zum Widerspruch führen. Nehmen wir an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig addieren und erhält
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält

also ist zugleich , ein Widerspruch.


Aufgabe (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.


Lösung

Es sei das Maximum der beteiligten vier Zahlen . Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen sind. Da alle Zahlen aus sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum definitiv nicht größer bei einer Iteration. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar (zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl) des Maximums gleich ist. Wir müssen (durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln) nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form

mit hat. Wenn ist, so liefert die Abbildung

Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei

mit ergibt sich im nächsten Schritt

was keine Nullen mehr hat. Bei

mit ergibt sich im nächsten Schritt

Bei besitzt dies nur eine Null, bei sind wir in einem schon behandelten Fall. Sei das Tupel jetzt

mit

Das Ergebnis ist

Bei ist dies

mit dem Folgetupel

Bei besitzt dies ein kleineres Maximum, bei ist das Folgetupel gleich

und davon ist das Folgetupel

Sei also . Das Folgetupel ist bei gleich

und dessen Folgetupel ist

Allenfalls in der dritten Position könnte eine stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , so dass das Folgetupel keine Null besitzt.


Das Folgetupel ist bei gleich

und dabei ist wieder allenfalls in der dritten Position eine , stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , so dass das Folgetupel keine Null besitzt.


Aufgabe (8 (2+1+2+1+2) Punkte)

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Lösung

(a) Die Eigenschaft folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels

Das strenge Fallen ergibt sich daraus durch

(b) Die Konstanz ergibt sich durch Induktion, wobei die Voraussetzung den Induktionsanfang sichert und der Induktionsschluss aus

folgt.

(c) Die Eigenschaft folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels

Das strenge Wachstum ergibt sich daraus durch

(d) Nach (a), (b), (c) ist die Folge in jedem Fall monoton und beschränkt, daher konvergiert sie in .

(e) Der Grenzwert sei . Es gilt

Wir wenden die Rechenregeln für Limiten auf die Rekursionsvorschrift an und erhalten

Daraus ergibt sich .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.


Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ist für alle . Dann ist

ein Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert hat. Das Polynom

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei den Wert . Nennen wir dieses Polynom . Dann ist

das gesuchte Polynom. An der Stelle gilt ja

für und .

Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)).


Aufgabe (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Lösung

Die Funktion ist im Nullpunkt nicht definiert, den Zwischenwertsatz kann man nur für stetige Funktionen anwenden, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.


Lösung

Die beiden Schnittpunkte seien und mit . Es ist also und . Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein mit

Der Graph der Ableitung schneidet also im Punkt die beschriebene Gerade.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .


Lösung

Nach Definition . ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) unter Verwendung der Kettenregel gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Lösung Periodische Funktionen/Rationales Verhältnis der Längen/Summe ist periodisch/Abstand/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu


Lösung

Wir schreiben

Daher ist mit der Substitution

bzw.

Eine Stammfunktion hiervon ist

und damit ist

eine Stammfunktion von


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Lösung

Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

Es ist

Damit haben wir Stufengestalt erreicht.

Wir wählen und . Dann ist nach III und nach I ist . Damit ist

eine Lösung.

Wir wählen jetzt und . Dann ist nach III und nach I ist . Damit ist

eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang besitzt (was aus der Stufengestalt ablesbar ist), ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

  1. Bestimme die invertierbaren -Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen.
  2. Welche davon sind zu sich selbst invers?


Lösung

  1. Die matrizeneinträge sind oder . Wenn die kein- oder einmal vorkommt, so kommt eine Nullzeile vor und die Matrix ist nicht invertierbar. Wenn die zweimal vorkommt, so darf die nicht in der gleichen Zeile stehen. Dies ergibt die invertierbaren Matrizen

    Wenn dreimal die vorkommen soll, so erhält man die invertierbaren Matrizen

    Bei vier Einsen liegt eine nichtinvertierbare Matrix vor.

  2. Die Einheitsmatrix und die Vertauschungsmatrix sind selbstinvers. Wir rechnen

    und

    Somit sind auch und selbstinvers.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom zu .
  2. Bestimme die Eigenwerte mit Vielfachheiten von über .
  3. Bestimme die Eigenräume von über .


Lösung

  1. Das charakteristische Polynom ist
  2. Die Nullstellenbestimmung von führt auf

    das charakteristische Polynom hat also die Faktorzerlegung

    Die Eigenwerte sind also , jeweils mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit .

  3. Der Eigenraum zum Eigenwert ist . Der Eigenraum zum Eigenwert ist der Kern von , dieser ist . Der Eigenraum zum Eigenwert ist der Kern von , dieser ist .




Anhang

Eine Stammfunktion von ist