Lösung
- Die Abbildung
-
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
auch
und
verschieden sind.
- Eine reelle Folge ist eine
Abbildung
-
- Man sagt, dass
stetig
im Punkt
ist,wenn es zu jedem
ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
- Die Funktion
-
heißt die Integralfunktion zu
zum Startpunkt
.
- Die Vektoren
heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
-
nur bei
für alle
möglich ist.
- Der Endomorphismus
heißt diagonalisierbar, wenn
eine
Basis
aus
Eigenvektoren
zu
besitzt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das
Majorantenkriterium
für eine Reihe von reellen Zahlen.
- Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
- Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.
Lösung
Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Lösung
Es gibt einen Menschen, der nicht legal ist.
Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
mit
-
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
mit
-
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
und eine rationale Zahl
mit
-
Lösung
a) Es ist
-
daher ist
-

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.
b) Wir nehmen
und
und
. Die Summe ist
-

c) Wir setzen
-

diese Zahl ist irrational, da
irrational ist. Es gilt
-

Mit
ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.
Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)
Lösung
a) Die ganze Prozentzahl wird bei
Ja-Antworten von
Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch
-

berechnet.
b) Für
ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als
ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens
erhöht. Für
ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für
ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als
ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens
erhöht.
c) Die Prozentzahl
kommt nicht vor. Für
ist das Ergebnis
-

(wegen
)
und für
ist das Ergebnis
-

(wegen
).
d) Die Prozentzahl
kommt doppelt vor. Für
ist das Ergebnis
-

(wegen
)
und für
ist das Ergebnis
-

(wegen
).
e) Die Prozentzahl
kommt doppelt vor. Für
ist das Ergebnis
-

(wegen
)
und für
ist das Ergebnis ebenfalls
-

(wegen
).
Wegen der Symmetrie der Situation
(bis auf die Rundung)
kommt auch die Prozentzahl
doppelt vor, für
.
Berechne
-
Lösung
Es ist

Lösung
Es ist
-

Bei
ist somit
-

und bei
ist
-

Daher ist stets
-

Für ein vorgegebenes
gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen
natürliche Zahlen
und
derart, dass
-

für
und
-

für
gilt. Für
gilt daher
-

Dies bedeutet die Konvergenz von
gegen
.
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Die Folge
sei durch
-

definiert.
- Bestimme
und
.
- Konvergiert die Folge in
?
Lösung
- Es ist
,
da
keine Primzahl ist, und
,
da
eine Primzahl ist.
- Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert
und unendlich oft den Wert
annimmt, da es unendlich viele Primzahlen gibt und da es unendlich viele Zahlen
(beispielsweise die geraden Zahlen
)
gibt, die keine Primzahlen sind.
Berechne
-
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}&={\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\\&=-{\frac {4}{25}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}+{\left(-{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{5}}\right)}\cdot 2+{\frac {1}{20}}\cdot 2^{\frac {4}{3}}\\&=-{\frac {4}{25}}-{\frac {1}{12}}+{\frac {14}{5}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{10}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-48-25+840}{300}}+{\frac {84+2+3}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {15-175-12}{150}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {767}{300}}+{\frac {89}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}-{\frac {86}{75}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c12b18f95c26e93ea0dc3e6d6e1db61fe3f397)
Es sei
und seien
-
stetige Funktionen mit
-

Zeige, dass es ein
derart gibt, dass
-

für alle
gilt.
Lösung
Sei
-

Da
und
stetig sind, gibt es zu
-

positive Zahlen
bzw.
derart, dass aus
die Abschätzung
und aus
die Abschätzung
folgt. Mit
-

gilt somit für jedes
die Abschätzung
-

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Wir betrachten die Funktion
-
a) Bestimme die
Ableitung
.
b) Bestimme die zweite Ableitung
.
Lösung
- Die erste Ableitung ist
-

- Die zweite Ableitung ist nach der Quotientenregel gleich

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion
-
mit der Eigenschaft, dass die Funktion
differenzierbar ist.
Lösung
Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion
.
Lösung
(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn
wachsend ist, und
ist, so gilt für den
Differenzenquotienten
-

für jedes
mit
.
Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert, und dieser ist
.
Sei umgekehrt die Ableitung
.
Nehmen wir an, dass es zwei Punkte
in
mit
gibt. Aufgrund des
Mittelwertsatzes
gibt es dann ein
mit
mit
-

im Widerspruch zur Voraussetzung.
(2). Es sei nun
mit nur endlich vielen Ausnahmen.
Angenommen es wäre
für zwei Punkte
. Da
nach dem ersten Teil wachsend ist, ist
auf dem Intervall
konstant. Somit ist
auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass
nur endlich viele Nullstellen besitzt.
Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad
zur Funktion
-

im Entwicklungspunkt
.
Lösung
Es ist
-
Es ist
-
und daher ist
-
Es ist
-
und daher ist
-
Es ist
-
und daher ist
-
Das Taylor-Polynom vom Grad
in
ist somit
-
Lösung
Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?
Lösung Eliminationsverfahren/Induktionsprinzip/Aufgabe/Lösung
Es sei
ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Es seien
und
. Zeige
-

Lösung
Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über
. Die Fälle
-

sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Axiomen für einen Vektorraum.
Die Aussage für
und beliebige
beweisen für durch Induktion nach
, wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Sei die Aussage für ein
schon bewiesen, und seien
Vektoren
gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles
und der Induktionsvoraussetzung

Wir betrachten nun die Aussage für ein festes
und beliebige
. Für
ist diese Aussage bereits bewiesen. Sei diese Aussage nun für ein festes
schon bewiesen Es seien Skalare
und Vektoren
gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle
und der Induktionsvoraussetzung

Es sei
ein
Untervektorraum.
Zeige, dass
eine
Basis
aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
Lösung
Es sei
eine Basis von
. Jeder dieser Basisvektoren hat die Form
-

mit rationalen Zahlen
-

mit ganzen Zahlen
und
.
Es sei
-

Dann besitzt
-

ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor
durch ein solches Vielfaches
, deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von
vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.
Lösung