Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/16/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 4 6 2 5 2 4 4 2 2 7 4 3 1 5 4 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Eine Folge reeller Zahlen.
  3. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  4. Die Integralfunktion zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

    auf einem reellen Intervall .

  5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .
  6. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  2. Eine reelle Folge ist eine Abbildung
  3. Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  4. Die Funktion

    heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .

  5. Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.

  6. Der Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Majorantenkriterium für eine Reihe von reellen Zahlen.
  2. Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.


Lösung

  1. Sei eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und eine Folge reeller Zahlen mit für alle . Dann ist die Reihe
    absolut konvergent.
  2. Es seien Intervalle und sei

    eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion.

    Es sei in differenzierbar mit .

    Dann ist auch die Umkehrfunktion in differenzierbar mit

  3. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

    eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

    1. ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
    2. ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.
    3. Bei ist genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn invertierbar ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.


Lösung

Es gibt einen Menschen, der nicht legal ist.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Lösung

a) Es ist

daher ist

und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.

b) Wir nehmen und und . Die Summe ist

c) Wir setzen

diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt

Mit ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.


Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der Gaußklammer , die bei gegebenem aus die Prozentzahl berechnet.

b) Für welche ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei . Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei . Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei . Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?


Lösung

a) Die ganze Prozentzahl wird bei Ja-Antworten von Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch

berechnet.

b) Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens erhöht. Für ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens erhöht.

c) Die Prozentzahl kommt nicht vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis

(wegen ).

d) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis

(wegen ).

e) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis

(wegen ) und für ist das Ergebnis ebenfalls

(wegen ). Wegen der Symmetrie der Situation (bis auf die Rundung) kommt auch die Prozentzahl doppelt vor, für .


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen konvergiert.


Lösung

Es ist

Bei ist somit

und bei ist

Daher ist stets

Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen  und derart, dass

für und

für gilt. Für gilt daher

Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Die Folge sei durch

definiert.

  1. Bestimme und .
  2. Konvergiert die Folge in ?


Lösung

  1. Es ist , da keine Primzahl ist, und , da eine Primzahl ist.
  2. Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert und unendlich oft den Wert annimmt, da es unendlich viele Primzahlen gibt und da es unendlich viele Zahlen (beispielsweise die geraden Zahlen ) gibt, die keine Primzahlen sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und seien

stetige Funktionen mit

Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.


Lösung

Sei

Da und stetig sind, gibt es zu

positive Zahlen bzw. derart, dass aus die Abschätzung und aus die Abschätzung folgt. Mit

gilt somit für jedes die Abschätzung


Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Lösung

  1. Die erste Ableitung ist
  2. Die zweite Ableitung ist nach der Quotientenregel gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion

mit der Eigenschaft, dass die Funktion differenzierbar ist.


Lösung

Wir betrachten

Diese Funktion ist offenbar stetig und in nicht differenzierbar. Dagegen ist für alle und somit differenzierbar.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion .


Lösung

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn wachsend ist, und ist, so gilt für den Differenzenquotienten

für jedes mit . Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert, und dieser ist .
Sei umgekehrt die Ableitung .    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte in mit gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein mit mit

 im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre für zwei Punkte . Da nach dem ersten Teil wachsend ist, ist auf dem Intervall konstant. Somit ist auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass nur endlich viele Nullstellen besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion

im Entwicklungspunkt .


Lösung

Es ist

Es ist

und daher ist

Es ist

und daher ist

Es ist

und daher ist

Das Taylor-Polynom vom Grad in ist somit


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Lösung

Wir verwenden partielle Integration, und zwar leiten wir ab und ziehen für die Stammfunktion heran. Somit ist

und daher ist

eine Stammfunktion.


Aufgabe (1 Punkt)

Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?


Lösung Eliminationsverfahren/Induktionsprinzip/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien und . Zeige


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über . Die Fälle

sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Axiomen für einen Vektorraum.

Die Aussage für und beliebige beweisen für durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Sei die Aussage für ein schon bewiesen, und seien Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles und der Induktionsvoraussetzung

Wir betrachten nun die Aussage für ein festes und beliebige . Für ist diese Aussage bereits bewiesen. Sei diese Aussage nun für ein festes schon bewiesen Es seien Skalare und Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.


Lösung

Es sei eine Basis von . Jeder dieser Basisvektoren hat die Form

mit rationalen Zahlen

mit ganzen Zahlen und . Es sei

Dann besitzt

ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor durch ein solches Vielfaches , deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine -Matrix über einem Körper . Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn einen Eigenvektor besitzt.


Lösung

Wenn trigonalisierbar ist, so zerfällt das charakteristische Polynom zu in Linearfaktoren und hat somit insbesondere Nullstellen, welche wiederum Eigenwerte sind, wozu auch Eigenvektoren gehören. Wenn umgekehrt einen Eigenvektor besitzt, so auch einen Eigenwert und damit besitzt das charakteristische Polynom eine Nullstelle, sagen wir . Dies bedeutet, dass das charakteristische Polynom von geteilt wird. Es ist also

Da das charakteristische Polynom den Grad besitzt, muss der andere Faktor ebenfalls ein Linearfaktor sein. Somit zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren und ist trigonalisierbar.