Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/23/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	6	1	5	3	4	3	2	5	5	8	4	3	1	3	1	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Körper.
2. Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}+\infty$.
3. Der Kosinus hyperbolicus.
4. Eine obere Treppenfunktion zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

5. Eine ${}m\times n$-Matrix über einem Körper ${}K$.
6. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

   und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
      3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
2. Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ heißt bestimmt divergent gegen ${}+\infty$, wenn es zu jedem ${}s\in \mathbb {R}$ ein ${}N\in \mathbb {N}$ mit

   $x_{n}\geq s{\text{ für alle }}n\geq N$

   gibt.

3. Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

   ${}\cosh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}\,$

   definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.

4. Eine Treppenfunktion

   $t\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   heißt eine obere Treppenfunktion zu ${}f$, wenn ${}t(x)\geq f(x)$ für alle ${}x\in I$ ist.

5. Eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$ ist ein Schema der Form

   ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

   wobei die ${}a_{ij}$ aus ${}K$ sind.

6. Man nennt

   $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$

   die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in ${}\mathbb {R}$.
2. Die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
3. Der Satz über die Ableitung einer reellen Potenzreihe.

Lösung

1. Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert.
2. Für die trigonometrischen Funktionen

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

   und

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

   gelten die Additionstheoreme

   ${}\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$

   und

   ${}\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.$

3. Es sei

   ${}g(x):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\,$

   eine Potenzreihe, die auf dem offenen Intervall ${}]-r,r[$ konvergiere und dort die Funktion ${}f\colon ]-r,r[\rightarrow \mathbb {R}$ darstellt. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

   ${}{\tilde {g}}(x):=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}\,$

   auf ${}]-r,r[$ konvergent. Die Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt dieses Intervalls differenzierbar mit

   ${}f'(x)={\tilde {g}}(x)\,.$

Aufgabe (6 (2+1+3) Punkte)

Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.

1. Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
2. Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
3. Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
4. Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.

a) Vom Jahr ${}2015$ weiß man, dass ${}17$ Tage sockenzerstreut und ${}11$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

b) Vom Jahr ${}2013$ weiß man, dass ${}270$ Tage sockenzerstreut und ${}120$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.

Lösung

a) Zerstreutheit: Die sockenzerstreuten Tage sind jedenfalls zerstreut. Das Minimum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind ${}17$. Das Maximum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig sockenzerstreut und schuhzerstreut war, das ergibt ${}28$ Tage.

Totale Zerstreutheit: Die total zerstreuten Tage sind insbesondere schuhzerstreut. Das Maximum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind ${}11$ Tage. Das Minimum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig schuh- und sockenzerstreut war, also ${}0$.

b) Wegen

${}270+120=390\geq 365\,$

können alle Jahre des Tages zerstreut gewesen sein, also ${}365$. Minimal waren ${}25$ Tage total zerstreut.

c) Es sei ${}s$ die Anzahl der sockenzerstreuten Tage, ${}x$ die Anzahl der schuhzerstreuten Tage, ${}z$ die Anzahl der zerstreuten Tage und ${}t$ die Anzahl der total zerstreuten Tage. Dann gilt die Formel

${}s+x=z+t\,.$

Beide Seiten der Formel sind additiv in den Tagen, sie muss also nur für einen Tag nachgewiesen werden. Wenn der Tag nicht zerstreut ist, steht beidseitig ${}0$. Wenn der Tag sockenzerstreut ist, aber nicht schuhzerstreut (oder umgekehrt), so ist der Tag zerstreut, aber nicht total zerstreut, und beidseitig steht ${}1$. Wenn der Tag total zerstreut ist, so steht beidseitig ${}2$.

Aufgabe (1 Punkt)

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette

${}{\text{Pythagoras}}=c^{2}=a^{2}+b^{2}\,?$

Lösung Gleichungskette/Pythagoras/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Lösung

1. Lucy benötigt ${}25$ Sekunden für den ${}500$ Meter langen Zug.
2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

   ${}{\frac {180000}{3600}}={\frac {1800}{36}}=50\,.$

   Da die beiden Bewegungen sich überlagern, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich ${}70$ Meter pro Sekunde.

3. In den ${}25$ Sekunden legt der Zug

   ${}25\cdot 50=1250\,$

   Meter zurück.

4. Man kann die vom Zug und die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke addieren, dies ergibt

   ${}1250+500=1750\,$

   Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

   ${}25\cdot 70=1750\,$

   Meter.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Lösung

 Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach [[Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (1)]]

${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

 sodass sich der Widerspruch

${}0=1$ ergibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Lösung

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ${}2$ ist, und führen das zu einem Widerspruch. Es sei also angenommen, dass

${}x\in \mathbb {Q} \,$

die Eigenschaft besitzt, dass

${}x^{2}=2\,$

ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl ${}x$ können wir somit als

${}x={\frac {a}{b}}\,$

ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also ${}a$ und ${}b$ keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, ${}a$ oder ${}b$ ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit ${}2$ kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft

${}x^{2}=2\,$

bedeutet ausgeschrieben

${}x^{2}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\,.$

Multiplikation mit ${}b^{2}$ ergibt die Gleichung

${}2b^{2}=a^{2}\,$

(dies ist eine Gleichung in ${}\mathbb {Z}$ bzw. sogar in ${}\mathbb {N}$). Diese Gleichung besagt, dass ${}a^{2}$ gerade ist, da ja ${}a^{2}$ ein Vielfaches der ${}2$ ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass ${}a$ selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz

${}a=2c\,$

mit einer ganzen Zahl ${}c$ machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten

${}2b^{2}=(2c)^{2}=2^{2}c^{2}\,.$

Wir können mit ${}2$ kürzen und erhalten

${}b^{2}=2c^{2}\,.$

Also ist auch ${}b^{2}$ und damit ${}b$ selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl ${}a$ als auch ${}b$ gerade sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass die Summenfolge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Lösung

Es seien ${}x$ bzw. ${}y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu

${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}\,$

ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon '\,$

gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu ${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{2}}$ ein ${}n_{0}'$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}'$ die Abschätzung

${}\vert {y_{n}-y}\vert \leq \epsilon '\,$

gilt. Sei

${}N={\max {\left(n_{0},n_{0}'\right)}}\,.$

Dann gilt für alle ${}n\geq N$ (unter Verwendung der Dreiecksungleichung) die Abschätzung

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}+y_{n}-(x+y)}\vert &=\vert {x_{n}+y_{n}-x-y}\vert \\&=\vert {x_{n}-x+y_{n}-y}\vert \\&\leq \vert {x_{n}-x}\vert +\vert {y_{n}-y}\vert \\&\leq \epsilon '+\epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl, ${}x\neq 1$. Beweise für ${}n\in \mathbb {N}$ durch Induktion die Beziehung

${}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Lösung

Für ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes ${}n$ bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}$

was die Behauptung für ${}n+1$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P\neq 0$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$.
2. Es gibt ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$, ${}Q\neq 0$, mit ${}Q(z)=0$.
3. Es gibt ein normiertes Polynom ${}R\in \mathbb {Q} [X]$ mit ${}R(z)=0$.

Lösung

Die Implikation (1) ${}\Rightarrow$ (2) ist unmittelbar klar, da ganze Zahlen rational sind und man somit ${}Q=P$ nehmen kann.

Es sei (2) erfüllt und sei

${}Q=s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\,$

mit ${}s_{i}\in \mathbb {Q}$, ${}s_{n}\neq 0$ und ${}Q(z)=0$. Wegen ${}s_{n}\neq 0$ ist auch ${}s_{n}^{-1}$ eine rationale Zahl. Wir multiplizieren ${}Q$ mit ${}s_{n}^{-1}$ und erhalten

${}{\begin{aligned}R&:=s_{n}^{-1}Q\\&=s_{n}^{-1}{\left(s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\right)}\\&=X^{n}+s_{n}^{-1}\cdot s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{n}^{-1}\cdot s_{2}X^{2}+s_{n}^{-1}\cdot s_{1}X+s_{n}^{-1}\cdot s_{0}.\end{aligned}}$

Dies ist ein normiertes Polynom, die Koeffizienten sind nach wie vor rational und es ist auch

${}R(z)=(s_{n}^{-1}Q)(z)=s_{n}^{-1}\cdot Q(z)=0\,.$

Es sei nun (3) erfüllt, und

${}R=X^{n}+t_{n-1}X^{n-1}+\cdots +t_{2}X^{2}+t_{1}X+t_{0}\,$

mit ${}t_{i}\in \mathbb {Q}$ und ${}R(z)=0$. Es ist

${}t_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

mit ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, ${}b_{i}\neq 0$. Wir setzen

${}{\begin{aligned}P&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}R\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}{\left(X^{n}+{\frac {a_{n-1}}{b_{n-1}}}X^{n-1}+\cdots +{\frac {a_{2}}{b_{2}}}X^{2}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}X+{\frac {a_{0}}{b_{0}}}\right)}\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}X^{n}+b_{0}b_{1}\cdots b_{n-2}a_{n-1}b_{n}X^{n-1}+\cdots +b_{0}b_{1}a_{2}b_{3}\cdots b_{n-1}X^{2}+b_{0}a_{1}b_{2}\cdots b_{n-1}X+a_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}.\end{aligned}}$

Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten, ist nicht das Nullpolynom und es ist nach wie vor

${}P(z)=0\,.$

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Es sei

${}f(x)=x^{3}+x-1\,.$

a) Zeige, dass die Funktion ${}f$ im reellen Intervall ${}[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl ${}q\in [0,1]$ derart an, dass ${}\vert {f(q)}\vert \leq {\frac {1}{10}}$ ist.

Lösung

a) Es ist ${}f(0)=-1$ und ${}f(1)=1$, daher besitzt die stetige Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle in ${}[0,1]$. Die Ableitung ist ${}f'(x)=3x^{2}+1$ und dies ist in diesem Intervall positiv, sodass die Funktion ${}f$ dort streng wachsend ist. Also kann sie nicht mehr als eine Nullstelle besitzen.

b) Für

${}x=1/2=0{,}5\,$

ist

${}f(1/2)=1/8+1/2-1<0\,,$

die Nullstelle muss also in der rechten Intervallhälfte liegen. Für ${}x=0{,}8$ ergibt sich

$f(0{,}8)=0{,}8^{3}+0{,}8-1=0{,}512+0{,}8-1=0{,}312>0,$

sodass dieser Wert zu groß ist. Für ${}x=0{,}7$ ergibt sich

${}f(0{,}7)=0{,}7^{3}+0{,}7-1=0{,}343+0{,}7-1=0{,}043>0\,,$

was immer noch zu groß ist. Für ${}x=0{,}6$ ergibt sich

${}f(0{,}6)=0{,}6^{3}+0{,}6-1=0{,}216+0{,}6-1=-0{,}184<0\,.$

Die Nullstelle liegt also im offenen Intervall zwischen ${}0{,}6$ und ${}0{,}7$ und die erste Nachkommastelle ist ${}6$.

c) Wie unter b) berechnet ist ${}f(0{,}7)=0{,}043<0{,}1$, sodass man ${}q=0{,}7$ nehmen kann.

Aufgabe (8 (1+4+3) Punkte)

Es sei ${}f(x)=\sin x$. Bestimme Polynome ${}P,Q,R$ vom Grad ${}\leq 3$, die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) ${}P$ stimmt mit ${}f$ an den Stellen ${}-\pi ,0,\pi$ überein.

(b) ${}Q$ stimmt mit ${}f$ in ${}0$ und in ${}\pi$ bis zur ersten Ableitung überein.

(c) ${}R$ stimmt mit ${}f$ in ${}\pi /2$ bis zur dritten Ableitung überein.

Lösung

a) Die Sinusfunktion hat an den angegebenen Stellen den Wert ${}0$, daher ist

${}P=x(x+\pi )(x-\pi )=x(x^{2}-\pi ^{2})=x^{3}-\pi ^{2}x\,.$

b) Es ist

$f(0)=0,\,f'(0)=1,\,f(\pi )=0{\text{ und }}f'(\pi )=-1.$

Das gesuchte Polynom

${}Q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

besitzt die Ableitung

${}Q'(x)=3ax^{2}+2bx+c\,.$

Somit müssen die Koeffizienten von ${}Q$ die Bedingungen ${}d=0$,

${}Q'(0)=c=1\,,$

${}a\pi ^{3}+b\pi ^{2}+\pi =0\,,$

also

${}a\pi ^{2}+b\pi +1=0\,$

und

${}3a\pi ^{2}+2b\pi +1=-1\,$

erfüllen. Die beiden zuletzt genannten Gleichungen liefern

${}b\pi +2=1\,,$

also

${}b=-{\frac {1}{\pi }}\,$

und damit ist

${}a=0\,.$

Das gesuchte Polynom ist also

${}Q=-{\frac {1}{\pi }}x^{2}+x\,.$

c) Das gesuchte Polynom ${}R$ ist das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ zu ${}f$ an der Stelle ${}\pi /2$. Die Ableitungen an dieser Stelle sind

$f{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=1,\,f'{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0,\,f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=-1{\text{ und }}f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=0.$

Das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ ist daher

$1-{\frac {1}{2}}{\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}^{2}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}F$ ein Polynom der Form

${}F=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}L(x)=cx+d$ sowohl in ${}(a,F(a))$ als auch in ${}(b,F(b))$ die Tangente zu ${}F$ beschreibt. Skizziere die Situation.

Lösung

Die Tangente an ${}F$ ist durch die Steigung und einen Punkt festgelegt. Es ist

${}F'(x)=2(x-a)(x-b)^{2}+2(x-a)^{2}(x-b)+c\,.$

Daher ist

${}F'(a)=c\,.$

Ferner ist

${}F(a)=ca+d=T(a)\,,$

d.h. ${}T(x)$ hat die richtige Steigung und an ${}a$ den richtigen Wert, es handelt sich also um die Tangente. Wegen der Symmetrie der Situation gilt die entsprechende Aussage auch für ${}b$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 3/2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt[{3}]{x}}+{\frac {1}{4x-5}}+\cos x+e^{-x},$

über ${}[2,7]$.

Lösung

Eine Stammfunktion von ${}f$ ist

${}F(x)={\frac {3}{4}}x^{4/3}+{\frac {1}{4}}\ln \left(4x-5\right)+\sin x-e^{-x}\,.$

Somit ist das gesuchte bestimmte Integral gleich

${}F(7)-F(2)={\frac {3}{4}}7^{4/3}+{\frac {1}{4}}\ln \left(23\right)+\sin \left(7\right)-e^{-7}-{\frac {3}{4}}2^{4/3}-{\frac {1}{4}}\ln \left(3\right)-\sin \left(2\right)+e^{-2}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

${}0=0\,.$

Welche Folgerung kann man daraus schließen?

Lösung

Daraus kann man nichts schließen.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&1&0\\2&3&1\\0&0&7\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\2&3&1\\0&0&7\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&7\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\0&0&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&-{\frac {1}{7}}\\0&0&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}3&-1&{\frac {1}{7}}\\-2&1&-{\frac {1}{7}}\\0&0&{\frac {1}{7}}\end{pmatrix}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}6&10&15\\-1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Lösung

Die Determinante ist

${}6\cdot 1-(-1)\cdot (10-15)=6-5=1\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und seien ${}\varphi ,\psi \colon V\rightarrow V$ lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von ${}\varphi \circ \psi$ bestimmen?

Lösung

Das kann man nicht. Wir betrachten die beiden nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen

$\varphi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.$

Ihr charakteristisches Polynom ist jeweils ${}X^{2}$. Ihr Produkt ist

${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$

und das charakteristische Polynom davon ist ${}(X-1)X=X^{2}-X$. Wenn man dagegen ${}\varphi$ zweimal nimmt, also ${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$, so ist das charakteristische Polynom ${}X^{2}$.