Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/25/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 1 2 4 11 4 4 5 4 4 5 3 5 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine bijektive Abbildung
  2. Ein lokales Maximum einer Funktion

    ( eine Teilmenge) in einem Punkt .

  3. Die reelle Exponentialfunktion zu einer Basis .
  4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  5. Die durch eine Matrix festgelegte lineare Abbildung.
  6. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
  2. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung

    gilt.

  3. Die Exponentialfunktion zur Basis ist als

    definiert.

  4. Die Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
  5. Es sei ein Körper und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis . Zu einer Matrix heißt die durch

    gemäß Satz 24.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.

  6. Man nennt

    den Eigenraum von zum Wert .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quotientenkriterium für eine reelle Reihe .
  2. Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen .
  3. Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Es gebe eine reelle Zahl mit und ein mit
    für alle . Dann konvergiert die Reihe absolut.
  2. Seien

    Teilmengen und seien

    und

    Funktionen mit . Es sei in differenzierbar und sei in differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

    in differenzierbar mit der Ableitung

  3. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. Die Familie ist eine Basis von .
    2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
    3. Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
    4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.


Aufgabe (1 Punkt)

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.


Lösung

Es spielen zwei Spieler gegeneinander, der eine gewinnt genau dann, wenn der andere verliert. Wenn einer also in der ersten Session verlieren kann, so kann auch einer (nämlich der andere) in der ersten Session gewinnen. Die Weisheit ist also unlogisch.


Aufgabe (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Lösung

Die folgende Kette von Inhaltspaaren kann man bei den gegebenen Möglichkeiten offensichtlich erreichen.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige

durch Induktion.


Lösung

Für steht beidseitig . Sei die Aussage für bekannt. Dann ist unter Verwendung von Lemma 4.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und der Induktionsvoraussetzung


Aufgabe (11 (5+4+2) Punkte)

Es sei ein Körper und seien Elemente aus . Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten . Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von gleich ist, verwenden.


Lösung

Für einen negativen Exponenten ist nach Definition

wobei das inverse Element zu bezeichnet.

  1. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, ist das Ergebnis bekannt. Wenn beide Exponenten negativ sind, so setzen wir und und es ist

    wobei wir für die zweite Gleichung das Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Für den gemischten Fall können wir wegen der Symmetrie der Situation und als negativ annehmen. Dann ist

    Bei schreiben wir

    und das Produkt ist gleich

    wobei wir für die dritte Gleichheit das dritte Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben.

    Bei schreiben wir

    und das Produkt ist gleich

  2. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, so ist die Aussage bekannt. Seien beide Exponenten negativ, wobei wir die gleichen Buchstaben wie unter (1) verwenden. Dann ist

    wobei wir verwendet haben, dass das Inverse von gleich ist und dass das Inverse des Inversen das Ausgangselement ist.

    Wenn nichtnegativ und negativ ist, so ist

    Wenn negativ und nichtnegativ ist, so ist

  3. Wir müssen nur den Fall negativ behandeln. Dann ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Lösung

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl sei eine Nullfolge gegeben, das -te Folgenglied der -ten Folge sei mit bezeichnet. Ist die Folge , deren -tes Folgenglied durch

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?


Lösung

Die Folge muss keine Nullfolge sein. Jede Folge sei bis auf ein einziges Ausnahmeglied die Folge der Stammbrüche, und zwar sei

für alle und und

Dann ist jede dieser Folge eine Nullfolge, da ja die Folge der Stammbrüche nur an einer einzigen Stelle abgeändert wurde und dies für das Konvergenzverhalten unerheblich ist. Damit ist

Es handelt sich also um die konstante Folge mit dem Wert , die gegen konvergiert, und keine Nullfolge ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.


Lösung

Sei . Wir zeigen zuerst die Stetigkeit im Nullpunkt. Da nach Aufgabe ***** die Folge , , gegen konvergiert, und da die Exponentialfunktion wachsend ist, gibt es zu jedem positiven ein positives mit der Eigenschaft, dass aus

die Abschätzung

folgt. Sei nun beliebig und vorgegeben. Wir betrachten ein , das zu

die Stetigkeit im Nullpunkt sichert. Dann gilt unter Verwendung von [[Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (1)]] für mit

die Abschätzung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Lösung

Der Richtungsvektor der Geraden ist . Somit besitzt die Geradengleichung die Form

Einsetzen eines Punkt ergibt . Somit ist

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

ein und erhalten

oder

Die Normierung davon ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

induziert.


Lösung

Die Ableitung des Sinus ist nach Fakt ***** der Kosinus. Dieser hat im Innern von keine Nullstelle, da ja als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle den Wert . Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen und ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall und der Sinus ist bijektiv.

Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels Fakt *****  (3).


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.


Lösung

Es sei

eine stetige Funktion. Über dem kompakten Intervall ist die Funktion nach oben und nach unten beschränkt, es seien und das Minimum bzw. das Maximum der Funktion. Dann ist insbesondere für alle und

Daher ist mit einem und aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es ein mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Lösung

Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten

und

Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten

Somit ist

und

Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?


Lösung

Der Produktraum besitzt die Dimension . Um dies zu beweisen sei eine Basis von und eine Basis von . Wir behaupten, dass die Elemente

eine Basis von bilden.

Sei . Dann gibt es Darstellungen

Daher ist

d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt

und das bedeutet

Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt für alle und für alle .


Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

und die Eigenwerte von sind .

b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.

:

Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von

bestimmen. Da gehört dazu.

:

Dies führt auf

Wir wählen und und erhalten , also ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

:

Dies führt auf

Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu


Somit ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt