Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/43/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	6	10	3	6	4	2	3	4	3	4	4	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.
2. Eine reelle Potenzreihe.
3. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

4. Der Sinus hyperbolicus.
5. Das untere Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion ${}s$ zu einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

6. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.

Lösung

1. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

2. Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und ${}x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

   $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

   die Potenzreihe in ${}x$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

3. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

   ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

4. Die für ${}x\in \mathbb {R}$ durch

   ${}\sinh x:={\frac {1}{2}}{\left(e^{x}-e^{-x}\right)}\,$

   definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.

5. Zur unteren Treppenfunktion

   $s\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   von ${}f$ zur Unterteilung ${}a_{i}$, ${}i=0,\ldots ,n$, und den Werten ${}s_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, heißt

   ${}S:=\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\left(a_{i}-a_{i-1}\right)}\,$

   ein unteres Treppenintegral von ${}f$ auf ${}I$.

6. Eine Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Vektoren in ${}V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in ${}\mathbb {R}$.
2. Die Rechenregeln für stetige Funktionen

   $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

3. Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Lösung

1. Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert.
2. Unter der vorausgesetzten Stetigkeit sind auch die Funktionen

   $f+g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

   $f-g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

   $f\cdot g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

   stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R}$, auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

   $f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

   stetig.
3. Es seien ${}D,E\subseteq \mathbb {R}$ Intervalle und sei

   $f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$

   eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion.

   $f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$

   Es sei ${}f$ in ${}a\in D$ differenzierbar mit ${}f'(a)\neq 0$.

   Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b:=f(a)$ differenzierbar mit

   ${}(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ${}65000000$) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

Lösung

Es benötigt

${}65000000\cdot 11=715000000\,$

Minuten. Ein Jahr besteht aus

${}365\cdot 24\cdot 60=525600\,$

Minuten. Der benötigte Zeitraum ist somit

${}{\frac {715000000}{525600}}={\frac {7150000}{5256}}\cong 1360,35\,$

Jahre.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Lösung

Wir machen die Annahme, dass es eine rationale Zahl gibt, deren Quadrat gleich ${}2$ ist, und führen das zu einem Widerspruch. Es sei also angenommen, dass

${}x\in \mathbb {Q} \,$

die Eigenschaft besitzt, dass

${}x^{2}=2\,$

ist. Eine rationale Zahl hat die Beschreibung als ein Bruch, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Die rationale Zahl ${}x$ können wir somit als

${}x={\frac {a}{b}}\,$

ansetzen. Ferner können wir annehmen (dieses Annehmen ist eine Vereinfachung der Situation und hat nichts mit der zum Widerspruch zu führenden Annahme zu tun), dass dieser Bruch gekürzt ist, dass also ${}a$ und ${}b$ keinen echten gemeinsamen Teiler haben. In der Tat brauchen wir lediglich, dass wir annehmen dürfen, dass zumindest eine Zahl, ${}a$ oder ${}b$ ungerade ist (wenn beide gerade sind, so können wir mit ${}2$ kürzen, u.s.w.) Die Eigenschaft

${}x^{2}=2\,$

bedeutet ausgeschrieben

${}x^{2}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\,.$

Multiplikation mit ${}b^{2}$ ergibt die Gleichung

${}2b^{2}=a^{2}\,$

(dies ist eine Gleichung in ${}\mathbb {Z}$ bzw. sogar in ${}\mathbb {N}$). Diese Gleichung besagt, dass ${}a^{2}$ gerade ist, da ja ${}a^{2}$ ein Vielfaches der ${}2$ ist. Daraus ergibt sich aber auch, dass ${}a$ selbst gerade ist, da ja das Quadrat einer ungeraden Zahl wieder ungerade ist. Deshalb können wir den Ansatz

${}a=2c\,$

mit einer ganzen Zahl ${}c$ machen. Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten

${}2b^{2}=(2c)^{2}=2^{2}c^{2}\,.$

Wir können mit ${}2$ kürzen und erhalten

${}b^{2}=2c^{2}\,.$

Also ist auch ${}b^{2}$ und damit ${}b$ selbst gerade. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass nicht sowohl ${}a$ als auch ${}b$ gerade sind.

Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Eine ${}n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch ${}a-1$ Längsrillen und ${}b-1$ Querrillen in ${}n=a\cdot b$ (${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$) mundgerechte kleinere Stücke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Stücken besteht. Bei einer gegebenen vollständigen Aufteilung ${}A$ einer Schokolade kann man sich für jedes Stück ${}s$ fragen, wie oft es bei einem Teilungsschritt der Aufteilung beteiligt war. Diese Zahl nennen wir die Aufteilungstiefe von ${}s$. Die Summe aller Aufteilungstiefen zu allen Stücken nennen wir die Gesamtaufteilungstiefe der Aufteilung.

1. Es sei eine ${}4\times 4$-Schokolade gegeben. Zeige, dass es eine vollständig Aufteilung gibt, bei der jedes Stück die Aufspaltungstiefe ${}4$ besitzt.
2. Wir betrachten ein Eckstück einer ${}4\times 4$-Schokolade. Was ist seine minimale Aufteilungstiefe und was ist seine maximale Aufteilungstiefe?
3. Hängt für eine fixierte Schokolade die Gesamtaufteilungstiefe von der Aufteilung ab?

Lösung

1. Man halbiert zuerst in der Mitte, die beiden ${}2\times 4$-Schokoladen halbiert man so, dass jeweils ${}2\times 2$-Schokoladen entstehen, diese halbiert man wieder und die entstehenden ${}2\times 1$-Schokoladen halbiert man noch mal. Bei diesem Aufteilungsprozess ist jedes Stück an ${}4$ Teilungen beteiligt. Die Aufspaltungstiefe ist also ${}4$ für jedes Stück.
2. Die minimale Aufteilungstiefe eines Eckstückes ist ${}2$, diese erreicht man, indem man von der Gesamtschokolade eine Einerreihe mit der Ecke abtrennt und daraus dann die Ecke als Einzelstück abtrennt. Aufteilungstiefe ${}1$ ist sicher nicht möglich. Die maximale Aufteilungstiefe ist ${}6$. Größer kann sie nicht sein, da es nur drei Quer- und drei Längsrillen gibt und die Anzahl der Rillen auf den Teilschokoladen bei jedem Teilungsschritt um zumindest ${}1$ kleiner wird. Unter der Aufteilung, bei der man stets eine die Ecke nicht enthaltende Einerrandreihe abtrennt, besitzt die Ecke die Aufteilungstiefe ${}6$.
3. Die Gesamtaufteilungstiefe hängt von der Aufteilung ab. Betrachten wir eine ${}4\times 1$-Schokolade. Wenn man in der Mitte halbiert und dann noch die beiden Teilschokoladen albiert, so ist jedes Stück an zwei Teilungsvorgängen beteiligt, die Gesamtaufteilungstiefe ist also ${}8$. Wenn man hingegen jeweils ein Randstück abtrennt, so ist die Summe der Aufteilungstiefen gleich

   ${}1+2+3+3=9\,.$

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Lösung Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang ${}d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.

Lösung

Bei konstantem Umfang ${}d$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge ${}s\neq 0$ bestimmt, die andere Seitenlänge ist ${}{\frac {d}{2}}-s$ und der Flächeninhalt ist

${}s{\left({\frac {d}{2}}-s\right)}=s{\frac {d}{2}}-s^{2}\,.$

Beim Quadrat ist die Seitenlänge gleich ${}{\frac {d}{4}}$ und der Flächeninhalt gleich ${}{\frac {d^{2}}{16}}$. Es ist also

${}s{\frac {d}{2}}-s^{2}\leq {\frac {d^{2}}{16}}\,$

zu zeigen. Dies ist wegen

${}{\frac {d^{2}}{16}}-s{\frac {d}{2}}+s^{2}={\left(s-{\frac {d}{4}}\right)}^{2}\geq 0\,$

erfüllt.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Lösung

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

${}a_{0}\leq x_{n}\leq b_{0}\,$

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist ${}I_{0}:=[a_{0},b_{0}]$. Es sei das ${}k$-te Intervall ${}I_{k}$ bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

$[a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}]\,\,{\text{ und }}\,\,[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}},b_{k}].$

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall ${}I_{k+1}$ eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

${}x_{n_{k}}\in I_{k}\,$

mit ${}n_{k}>n_{k-1}$. Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe 8.21 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl ${}x$.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Die Süddeutsche Zeitung schrieb am 10.3.2020 unter dem Titel „Die Wucht der großen Zahl“ (von Christian Endt, Michael Mainka und Sören Müller-Hansen):

„Um zu verstehen, warum das neue Coronavirus so gefährlich ist, muss man sich klarmachen, was exponentielles Wachstum bedeutet. Der Begriff ist etwas sperrig, das Konzept dahinter aber einfach. Es geht um eine Vermehrung, die sich ständig selbst beschleunigt. Und dieses Muster lässt sich auch beim Coronavirus erkennen. Das ist der Hintergrund, warum nun immer strengere Auflagen verhängt werden, Fußballspiele ohne Publikum ausgetragen, Feste und Kongresse abgesagt werden. Und warum Gesundheitsminister Jens Spahn, Kanzlerin Angela Merkel und andere davon sprechen, man müsse die Ausbreitung des Virus verlangsamen. Sprich: Verhindern, dass es sich exponentiell verbreitet.“

1. Beschleunigt sich lineares Wachstum „ständig selbst“?
2. Beschleunigt sich quadratisches Wachstum wie bei der Funktion ${}f(x)=x^{2}$ „ständig selbst“?
3. Wie kann man exponentielles Wachstum charakterisieren?
4. Wenn man exponentielles Wachstum „verlangsamen“ möchte, verhindert man dann exponentielles Wachstum oder ändert man Parameter (welche?) für exponentielles Wachstum?

Lösung Wachstum/Exponentiell/Corona/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.

	Grad	Bogenmaß	Prozent
	${}\,$	${}\,$	${}100\,\%$
	${}270^{\circ }$	${}\,$	${}\,$
	${}\,$	${}{\frac {\pi }{10}}$	${}\,$
	${}60^{\circ }$	${}\,$	${}\,$
	${}\,$	${}\pi$	${}\,$
	${}\,$	${}\,$	${}1\,\%$

Lösung

	Grad	Bogenmaß	Prozent
	${}360^{\circ }$	${}2\pi$	${}100\,\%$
	${}270^{\circ }$	${}{\frac {3}{2}}\pi$	${}75\,\%$
	${}18^{\circ }$	${}{\frac {\pi }{10}}$	${}5\,\%$
	${}60^{\circ }$	${}{\frac {\pi }{3}}$	${}16{,}{\overline {6}}\,\%\,$
	${}180^{\circ }$	${}\pi$	${}50\,\%$
	${}3{,}6^{\circ }$	${}{\frac {\pi }{50}}$	${}1\,\%$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Bestimme die Ableitung (auf den jeweiligen Definitionsbereichen) der folgenden Funktionen:

a) ${}\tan x$,

b) ${}\arctan x$.

Lösung

a)

${}{\begin{aligned}(\tan x)^{\prime }&={\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)}^{\prime }\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.\end{aligned}}$

b)

${}{\begin{aligned}(\arctan x)^{\prime }&={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{\frac {\cos ^{2}(\arctan x)+\sin ^{2}(\arctan x)}{\cos ^{2}(\arctan x)}}}\\&={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}\\&={\frac {1}{1+x^{2}}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine periodische Funktion mit der Periode ${}L>0$.

a) Es sei ${}f$ differenzierbar. Zeige, dass die Ableitung ${}f'$ ebenfalls periodisch mit der Periode ${}L$ ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer nichtkonstanten, periodischen, stetigen Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, deren Stammfunktion nicht periodisch ist.

Lösung

a) Es ist

${}f'(x+L)=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(x+L+h)-f(x+L)}{h}}=\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)\,,$

daher ist die Ableitung periodisch mit Periodenlänge ${}L$.

b) Wir betrachten

${}f(x)=2+\sin x>0\,.$

Diese Funktion ist periodisch mit der Periodenlänge ${}2\pi$. Die Stammfunktion ist nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) streng wachsend, also nicht periodisch.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

${}F(x)=x^{4}-x^{3}\,$

im Innern von ${}[0,1]$ stets negativ ist und berechne den Flächeninhalt der durch den Graphen unterhalb von ${}[0,1]$ eingeschlossenen Fläche.

Lösung

Wegen

${}x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1)\,$

ist für ${}x\in ]0,1[$ der Faktor ${}x^{3}$ positiv und der Faktor ${}x-1$ negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ und hat den Wert ${}0$ an den Rändern. Eine Stammfunktion ist ${}{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{4}}x^{4}$. Daher ist das bestimmte Integral gleich

${}\int _{0}^{1}(x^{4}-x^{3})dx=[{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{4}}x^{4}]_{0}^{1}={\frac {1}{5}}-{\frac {1}{4}}=-{\frac {1}{20}}\,$

und der eingeschlossene Flächeninhalt ist ${}{\frac {1}{20}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&-2\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$

Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable ${}z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und ${}IV-5I$ hinzunehmen. Dies führt auf

${\begin{matrix}2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\-14x&+3y&\,\,\,\,\,\,\,\,&-20w&=&9\,.\end{matrix}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${}w$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${}II-I$ und ${}III+20I$ ausrechnen. Dies führt auf

${\begin{matrix}2x&+4y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-4\\26x&+43y&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&149\,.\end{matrix}}$

Mit ${}13I-II$ ergibt sich

${}9y=-201\,$

und

${}y=-{\frac {67}{3}}\,.$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${}x=-2-2y={\frac {128}{3}}\,,$

${}w=7-2x-2y=-{\frac {101}{3}}\,$

und

${}z=-2-3x-4w={\frac {14}{3}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die drei Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f(x)=x$, ${}g(x)=\sin x$ und ${}h(x)=\cos x$ linear abhängig sind.

Lösung

Die Funktionen sind linear unabhängig. Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit vorliegen würde, so gelte

${}af+bg+ch=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, nicht alle ${}0$. Dies gilt dann auch an jeder Stelle ${}P\in \mathbb {R}$. Wir betrachten die Stellen

${}P=0,{\frac {\pi }{2}},\pi \,.$

Die Werte der drei Funktionen an diesen Stellen sind

${}P$	${}f(P)$	${}g(P)$	${}h(P)$
${}0$	${}0$	${}0$	${}1$
${}{\frac {\pi }{2}}$	${}{\frac {\pi }{2}}$	${}1$	${}0$
${}\pi$	${}\pi$	${}0$	${}-1$

Die angenommene lineare Abhängigkeit bedeutet somit, dass die Spalten der Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&1\\{\frac {\pi }{2}}&1&0\\\pi &0&-1\end{pmatrix}}$

linear abhängig sind und ihre Determinante ${}0$ sein muss. Die Entwicklung nach der ersten Zeile zeigt aber, dass die Determinante den Wert ${}-\pi$ hat.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}1&4&1\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}.$

Lösung

Die Determinante von ${}A$ ist

${}\det {\begin{pmatrix}1&4&1\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}}=-1\,$

und die Determinante von ${}B$ ist

${}\det {\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}=1\,.$

Das Produkt der beiden Matrizen ist

${}AB={\begin{pmatrix}1&4&1\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4&2\\2&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}}\,.$

Die Determinante davon ist

${}{\begin{aligned}\det AB&=\det {\begin{pmatrix}3&4&2\\2&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}}\\&=-1.\end{aligned}}$

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.