Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 15/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei ein Polynom, und . Zeige, dass genau dann ein Vielfaches von ist, wenn eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ist.
![{\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf6bcf64e16c3ac6b30ecd6577e72648ab2325a)
Betrachte die Funktion
die durch
definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?
Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
![{\displaystyle f\colon [-2,5]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=2x^{3}-5x^{2}+4x-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1347bb49ae963684e0401b48b89643e482af57e)
Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
![{\displaystyle f\colon [-4,4]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=3x^{3}-7x^{2}+6x-3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ecc4056dd8d832aa4f9c4199c1e0a64d0c9e2c)
Betrachte die Funktion
Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.
![{\displaystyle {}a\in [-3,3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ed81cc99937bca4b8fb344a1a829e0b883c542)
Die Stadt soll mit den beiden Städten und mit durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der -Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.
An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.
Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion
vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.
Es sei und
eine rationale Funktion. Zeige, dass genau dann ein Polynom ist, wenn es eine höhere Ableitung mit gibt.
Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
Es sei
a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.
![{\displaystyle {}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5d0a058030cf6f54dea8f7b56f08f18cfa7e4f)
b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.
c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.
![{\displaystyle {}q\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c7534a176d2ef692b68fc685561b619d119c43)
Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte stetig differenzierbare Funktion und sei ein Punkt mit . Zeige, dass es offene Intervalle mit und derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion bijektiv ist.
Begründe den Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus dem zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Bestimme den Grenzwert von
im Punkt , und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen cm und cm soll eine Schachtel (ohne Deckel) mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird (die überlappenden Eckränder werden verklebt). Mit welcher Randbreite (=Schachtelhöhe) erreicht man das maximale Volumen?
Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form
(mit , ), keine lokalen Extrema besitzt.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Polynomfunktion vom Grad . Es sei die Anzahl der lokalen Maxima von und die Anzahl der lokalen Minima von . Zeige, dass bei ungerade und bei gerade ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
