Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 39
- Übungsaufgaben
Von einer Bewegung
sei der Geschwindigkeitsverlauf
bekannt. Ferner sei
bekannt. Bestimme .
Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum unabhängig von der gewählten Basis ist.
Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven
wobei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.
Wir betrachten die Abbildung
Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
Es sei eine stetige Funktion, die wir als ein (eindimensionales) Vektorfeld auf auffassen. Es sei , der identische Weg. Zeige, dass das Wegintegral mit dem Integral übereinstimmt.
Kommentar:
Für die Berechnung des Wegintegrals benötigen wir die Ableitung des Weges. Diese ist durch komponentenweises Differenzieren
Hiermit bekommen wir, durch Einsetzen in die Formel zur Berechnung des Wegintegrals,
Nach Ausmultiplizieren und dem Ausrechnen des Skalarproduktes, erhalten wir
was sich nun leicht berechnen lässt.
Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld
längs des Weges
Es seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve
Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld
Es sei
gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Vektorfeldern.
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Es sei
ein stetiges Vektorfeld und
ein stetig differenzierbarer Weg. Es sei eine Stammfunktion zu . Zeige
Es sei
ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei
ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.
Wir betrachten das identische Vektorfeld
Zeige, dass für je zwei Punkte und für jeden stetig differenzierbaren Weg
mit und das Wegintegral gleich ist.
Kommentar:
Benutzen wir die Definition des Wegintegrals und die Tatsache, dass das Vektorfeld die Identität ist, erhalten wir
Würde das Skalarprodukt als Multiplikation interpretiert werden, sieht der Ausdruck unter dem Integral der Ableitung einer quadrierten Funktion sehr ähnlich. Denn für eine differenzierbare Funktion
gilt mit Hilfe der Kettenregel
Der Vorfaktor müsste nur noch angepasst werden. Dass dieser Zusammenhang auch für das Skalarprodukt stimmt, zeigen wir durch nachrechnen.
In der Standardbasis ist mit den Koordinatenfunktionen und . Damit erhalten wir
Durch entsprechende Anpassung des Vorfaktors wissen wir demnach, dass eine Stammfunktion des Ausdrucks unter dem Integral ist. Wir erhalten folglich
Es sei eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.
- Man gebe ein Beispiel für ein
diagonalisierbares
(mit
)
und eine stetig differenzierbare Kurve
mit derart an, dass das Wegintegral nicht ist.
- Es sei nun diagonalisierbar bezüglich einer
Orthonormalbasis.
Zeige, dass
für jede stetig differenzierbare Kurve mit ist.
Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,
eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.
- Für ist
- Es ist
wobei den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.
- Wenn
ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit ist, so ist
wobei den aneinander gelegten Weg bezeichnet.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis
Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über , und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten die differenzierbare Kurve
und das Vektorfeld
a) Berechne das Wegintegral .
b) Es sei
und . Berechne (unabhängig von a))
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten das Vektorfeld
Bestimme das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.
Aufgabe (6 Punkte)
Wir betrachten das Vektorfeld
Bestimme das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von nach .
Aufgabe (5 Punkte)
Wir betrachten das konstante Vektorfeld
Zeige, dass für zwei Punkte und jeden stetig differenzierbaren Weg mit und das Wegintegral gleich ist.
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