Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 39

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Von einer Bewegung

$\phi :{ℝ}_{+}⟶{ℝ}^3$

sei der Geschwindigkeitsverlauf

${\phi }^{\prime }(t)=(\frac{t^2-1}{t},t\sin \left(t^2\right),t{e}^t)$

bekannt. Ferner sei

$\phi (1)=(1,2,3)$

bekannt. Bestimme $\phi (t)$.

Aufgabe

Zeige, dass das Integral zu einer stetigen Kurve

$[a,b]⟶V$

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ unabhängig von der gewählten Basis ist.

Aufgabe

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

$g:I⟶V,$

wobei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\phi :ℝ⟶{ℝ}^3,t⟼(t^2,t^5-1,t+\sin t).$

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right).$

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über $[a,b]$, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion, die wir als ein (eindimensionales) Vektorfeld auf $ℝ$ auffassen. Es sei $[a,b]⟶ℝ$, $t⟼t$ der identische Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${\int }_{\gamma }f$ mit dem Integral ${\int }_a^{b}f(t)dt$ übereinstimmt.

Aufgabe

Bestimme das Wegintegral zum eindimensionalen Vektorfeld

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼x^3-4x+2,$

und zum Weg

$\gamma :[-3,2]⟶ℝ,t⟼t^2+t-1.$

Aufgabe

Es sei

$\gamma :[2,7]⟶{ℝ}^2,t⟼(t^2-1,t+3),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

$F(x,y)=(y^2-x,-3xy-y^3).$

Kommentar:

Für die Berechnung des Wegintegrals benötigen wir die Ableitung des Weges. Diese ist durch komponentenweises Differenzieren

${\gamma }^{\prime }(t)=(2t,1).$

Hiermit bekommen wir, durch Einsetzen in die Formel zur Berechnung des Wegintegrals,

${\int }_{\gamma }F={\int }_2^7⟨F(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩dt$

$={\int }_2^7⟨((t+3{)}^2-(t^2-1),-3(t^2-1)(t+3)-(t+3{)}^3),(2t,1)⟩dt.$

Nach Ausmultiplizieren und dem Ausrechnen des Skalarproduktes, erhalten wir

${\int }_{\gamma }F={\int }_2^7(-4t^3-6t^2-4t-18)dt,$

was sich nun leicht berechnen lässt.

 

Aufgabe

Es sei

$\gamma :[1,6]⟶{ℝ}^3,t⟼(t^2,t^3,t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

$F(x,y,z)=(y^2-x{z}^2,xy,-3xz-y^{3}z).$

Aufgabe *

Berechne das Wegintegral ${\int }_{\gamma }F$ zum Vektorfeld

$F:{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(y,x),$

längs des Weges

$\gamma :[-1,1]⟶{ℝ}^2,t⟼(t,e^t).$

Aufgabe *

Es sei

$\gamma :[-1,1]⟶{ℝ}^3,t⟼(t^2,-t^2+1,t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

$F(x,y,z)=(y^2-xz,xyz,5x^{2}z-yz).$

Aufgabe

Es sei

$\gamma :[0,2\pi ]⟶{ℝ}^3,t⟼(\cos t,\sin t,t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

$F(x,y,z)=(y-z^3,x^2,-xz).$

Aufgabe *

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

$[0,2\pi ]⟶{ℝ}^2,t⟼(t\cos t,t\sin t),$

im Vektorfeld

${ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(y,-x).$

Aufgabe

Es seien  $a,b,c,d,r,s\ge 1$  natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

$[0,1]⟶{ℝ}^2,t⟼(t^r,t^s).$

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

$F(x,y)=(x^a{y}^b,x^c{y}^d).$

Aufgabe

Es sei

$\gamma :[0,2\pi ]⟶{ℝ}^2,t⟼(\cos t,\sin t),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Vektorfeldern.

a)  $F(x,y)=(x,y)$, 

b)  $F(x,y)=(x,-y)$, 

c)  $F(x,y)=(y,x)$, 

d)  $F(x,y)=(y,-x)$. 

Aufgabe

Es sei

$F:ℝ⟶ℝ$

ein stetiges Vektorfeld und

$\gamma :[a,b]⟶ℝ$

ein stetig differenzierbarer Weg. Es sei $G$ eine Stammfunktion zu $F$. Zeige

${\int }_{\gamma }F=G(\gamma (b))-G(\gamma (a)).$

Aufgabe *

Es sei

$F:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n$

ein stetiges Vektorfeld, wobei die $i$-te Komponente nur von der $i$-ten Variablen abhängen möge. Es sei

$\gamma :[a,b]⟶U$

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral ${\int }_{\gamma }F$ nur von $\gamma (a)$ und $\gamma (b)$ abhängt.

Aufgabe

Wir betrachten das identische Vektorfeld

$F:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n,P⟼P.$

Zeige, dass für je zwei Punkte $P,Q\in {ℝ}^n$ und für jeden stetig differenzierbaren Weg

$\gamma :[a,b]⟶{ℝ}^n$

mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$ das Wegintegral ${\int }_{\gamma }F$ gleich $\frac{1}{2}(\Vert Q{\Vert }^2-\Vert P{\Vert }^2)$ ist.

Kommentar:

Benutzen wir die Definition des Wegintegrals und die Tatsache, dass das Vektorfeld die Identität ist, erhalten wir

${\int }_{\gamma }F={\int }_a^b⟨F(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩dt={\int }_a^b⟨\gamma (t),{\gamma }^{\prime }(t)⟩dt.$

Würde das Skalarprodukt als Multiplikation interpretiert werden, sieht der Ausdruck unter dem Integral der Ableitung einer quadrierten Funktion sehr ähnlich. Denn für eine differenzierbare Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)$

gilt mit Hilfe der Kettenregel

$(f^2{)}^{\prime }=(f\cdot f{)}^{\prime }=2\cdot f^{\prime }\cdot f.$

Der Vorfaktor müsste nur noch angepasst werden. Dass dieser Zusammenhang auch für das Skalarprodukt stimmt, zeigen wir durch nachrechnen.

In der Standardbasis ist $\gamma (t)=({\gamma }_1(t),{\gamma }_2(t))$ mit den Koordinatenfunktionen ${\gamma }_1$ und ${\gamma }_2$. Damit erhalten wir

$(⟨\gamma (t),\gamma (t)⟩{)}^{\prime }=({\gamma }_1^2(t)+{\gamma }_2^2(t){)}^{\prime }=2{{\gamma }_1}^{\prime }(t)\cdot {\gamma }_1(t)+2{{\gamma }_2}^{\prime }(t)\cdot {\gamma }_2(t)$

$=2({{\gamma }_1}^{\prime }(t)\cdot {\gamma }_1(t)+{{\gamma }_2}^{\prime }(t)\cdot {\gamma }_2(t))=2⟨({\gamma }_1(t),{\gamma }_2(t)),({{\gamma }_1}^{\prime }(t),{{\gamma }_2}^{\prime }(t))⟩$

Durch entsprechende Anpassung des Vorfaktors wissen wir demnach, dass $\frac{1}{2}⟨\gamma (t),\gamma (t)⟩$ eine Stammfunktion des Ausdrucks unter dem Integral ist. Wir erhalten folglich

${\int }_{\gamma }F=\frac{1}{2}⟨\gamma (t),\gamma (t)⟩{|}_a^b=\frac{1}{2}(⟨Q,Q⟩-⟨P,P⟩)=\frac{1}{2}(\Vert Q{\Vert }^2-\Vert P{\Vert }^2).$

 

Aufgabe *

Es sei $F:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ eine lineare Abbildung, aufgefasst als lineares Vektorfeld.

1. Man gebe ein Beispiel für ein diagonalisierbares $F$ (mit  $n=2$ ) und eine stetig differenzierbare Kurve

   $\gamma :[a,b]⟶{ℝ}^2$

   mit  $\gamma (a)=\gamma (b)$  derart an, dass das Wegintegral ${\int }_{\gamma }F$ nicht $0$ ist.

2. Es sei nun $F$ diagonalisierbar bezüglich einer Orthonormalbasis. Zeige, dass

   ${\int }_{\gamma }F=0$

   für jede stetig differenzierbare Kurve $\gamma$ mit  $\gamma (a)=\gamma (b)$  ist.

Aufgabe

Es sei $U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

$F,G:U⟶V$

stetige Vektorfelder und

$\gamma :[a,b]⟶U$

eine (stückweise) stetig differenzierbare Kurve. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für $r,s\in ℝ$ ist

   ${\int }_{\gamma }rF+sG=r{\int }_{\gamma }F+s{\int }_{\gamma }G.$

2. Es ist

   ${\int }_{-\gamma }F=-{\int }_{\gamma }F,$

   wobei $-\gamma$ den umgekehrt durchlaufenen Weg bezeichnet.

3. Wenn

   $\delta :[b,c]⟶U$

   ein weiterer (stückweise) stetig differenzierbarer Weg mit  $\delta (b)=\gamma (b)$  ist, so ist

   ${\int }_{\gamma \ast \delta }F={\int }_{\gamma }F+{\int }_{\delta }F,$

   wobei $\gamma \ast \delta$ den aneinander gelegten Weg bezeichnet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\phi :ℝ⟶{ℝ}^3,t⟼(t^2,t^5-1,t+\sin t).$

Bestimme die Komponenten dieser Abbildung bezüglich der Basis

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right).$

Bestimme mit beiden Basen das Integral dieser Kurve über $[a,b]$, und bestätige, dass die Ergebnisse übereinstimmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum eindimensionalen Vektorfeld

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼x^3+5x^2-6,$

und zum Weg

$\gamma :[-1,3]⟶ℝ,t⟼t^3+2t.$

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

$\gamma :[-2,5]⟶{ℝ}^3,t⟼(t^2,-t^3,t^2-t+4),$

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

$F(x,y,z)=(y^3-x^2{z}^2,x^{2}y,5x^{3}z-y^{2}z).$

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$\gamma :[0,1]⟶{ℝ}^3,t⟼(t,-t,t^2),$

und das Vektorfeld

$F:{ℝ}^3⟶{ℝ}^3,(x,y,z)⟼(x^2,xz,y^2).$

a) Berechne das Wegintegral ${\int }_{\gamma }F$.

b) Es sei

$g:[0,\frac{\pi }{2}]⟶[0,1],s⟼\sin s,$

und  $\tilde{\gamma }=\gamma \circ g$.  Berechne (unabhängig von a)) ${\int }_{\tilde{\gamma }}F$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$F:{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x^2-e^y,xy+\cos x).$

Bestimme das Wegintegral längs des gegen den Uhrzeigersinn einmal durchlaufenen Einheitsquadrates.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$F:{ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(\frac{x^3-xy+2y^2}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}).$

Bestimme das Wegintegral zu diesem Vektorfeld längs des linearen Weges von $(0,-2)$ nach $(3,4)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das konstante Vektorfeld

$F:{ℝ}^n⟶{ℝ}^n,P⟼v.$

Zeige, dass für zwei Punkte  $P,Q\in {ℝ}^n$  und jeden stetig differenzierbaren Weg $\gamma :[a,b]\to {ℝ}^n$ mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$ das Wegintegral ${\int }_{\gamma }F$ gleich $⟨Q-P,v⟩$ ist.