Kurs:Mathematik für Anwender II/Teiltest 1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
  2. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  3. Eine differenzierbare Kurve

    auf einem reellen Intervall .

  4. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  5. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.
  6. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  7. Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt .

  8. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).

Lösung

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
  2. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  3. Eine differenzierbare Kurve

    auf einem reellen Intervall .

  4. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  5. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.
  6. Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
  7. Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt .

  8. Das totale Differential in einem Punkt einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung

    (dabei seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume).


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Formel für die Länge einer Kurve
  2. Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .
  3. Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
    in einem Punkt .
  4. Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen

    und

    in einem Punkt .

Lösung

  1. Es sei ein kompaktes Intervall und

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt

  2. Es sei . Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
  3. Sei im Punkt total differenzierbar mit dem totalen Differential . Dann ist in in jede Richtung differenzierbar, und es gilt
  4. Die zusammengesetzte Abbildung ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt besteht die Beziehung


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.

Lösung

Der Vektor besitzt die Norm , somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz

so dass

und ist. Der normierte Vektor dazu ist

Der dritte Vektor muss senkrecht auf und stehen. Ein solcher Vektor ist offenbar . Daher kann man

als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge abgeschlossen ist.

Lösung

Die endliche Punktmenge bestehe aus . Wir müssen zeigen, dass das Komplement dieser Punktmenge offen ist. D.h. wir müssen zeigen, dass es zu jedem Punkt , , eine offene Ballumgebung gibt, die ganz in liegt. Wegen ist . Wir setzen . Dann enthält keinen der Punkte.


 

Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung

gilt.

Lösung

b) Die Unterteilungspunkte sind
Der Sinus hat dabei folgende Werte:

Dabei ergibt sich die zweite Gleichung aus und der Kreisgleichung . Die dritte Gleichung folgt daraus aus der Symmetrie des Sinus.

Die erste Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte und , deren Länge ist also

Die zweite Teilstrecke des Streckenzugs verbindet die beiden Punkte und , deren Länge ist also

Die dritte Teilstrecke ist gleichlang zur zweiten und die vierte Teilstrecke ist gleichlang zur ersten. Daher ist die Gesamtlänge dieses Streckenzugs insgesamt gleich

c) Da die Kurve stetig differenzierbar ist, ist sie auch rektifizierbar, und ihre Länge ist gleich

Wegen ist und daher ist . Wegen der Monotonie der Quadratwurzel folgt

Also ist


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

Lösung

Für eine stetig differenzierbare Kurve

gilt

Die Kurve ist ebenfalls stetig differenzierbar, und nach der Kettenregel gilt

da linear ist. Da eine Isometrie ist, stimmt die Norm von mit der Norm von überein. Daher ist


 

Aufgabe * (6 Punkte)

Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zum Vektorfeld

Lösung

Es ist

Für die geraden Exponenten heben sich die Summanden zu und weg, zu ungeraden Exponenten verdoppeln sie sich. Daher ist dieses Integral gleich


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.

Lösung

Wir machen den Ansatz

aufgrund der Anfangswertbedingungen ist und . Es ist und . Aus der Gleichung

lassen sich die Koeffizienten bestimmen.

Koeffizientenvergleich zu ergibt

also ist .

Koeffizientenvergleich zu ergibt

also ist .

Koeffizientenvergleich zu ergibt

also ist .

Daher ist

die Lösung des Anfangswertproblems bis zur Ordnung .


 

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung

Lösung

Das charakteristische Polynom ist

Dies ergibt zunächst den Eigenwert . Durch quadratisches Ergänzen (oder direkt) sieht man für den quadratischen Term die Nullstellen und , die die weiteren Eigenwerte sind. Da es drei verschiedene Eigenwerte gibt ist klar, dass zu jedem Eigenwert der Eigenraum eindimensional ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.

Eigenraum zu : Man muss die Lösungsmenge von

bestimmen. Eine Lösung ist offenbar der Spaltenvektor , so dass der Eigenraum zu gleich ist.


 

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

und die Eigenwerte von sind .

b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.

:

Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von

bestimmen. Da gehört dazu.

:

Dies führt auf

Wir wählen und und erhalten , also ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

:

Dies führt auf

Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu

und daher ist

Daher ist

Somit ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem

Lösung

Aus der zweiten Zeile folgt sofort

wobei die Anfangsbedingung durch erfüllt wird. Für ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,

Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen . Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz , ergibt sich die Bedingung

Also ist mit einer Konstanten . Aus

folgt . Die Lösung ist also


 

Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung

Lösung

a) Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix. Das charakteristische Polynom davon ist

Daher sind und die Eigenwerte, und daher ist die Matrix diagonalisierbar.

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die erste Fundamentallösung

Zur Bestimmung eines Eigenvektors zum Eigenwert berechnen wir den Kern von

Dies ergibt den Eigenvektor zum Eigenwert und damit die zweite Fundamentallösung

Die allgemeine Lösung hat demnach die Form


b) Um das Anfangsproblem zu lösen müssen wir und so bestimmen, dass

ist. Dies ist ein lineares Gleichungssystem, Addition führt auf

also und daher . Die Lösung des Anfangswertproblems ist also


 

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme zur Funktion

die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.

Lösung

Es ist


 

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.

Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

und

Somit ist die Jacobi-Matrix in einem Punkt gleich


 

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestätige die Kettenregel für für die beiden differenzierbaren Abbildungen

und

Lösung

Die zusammengesetzte Abbildung ist durch

gegeben, ihre Ableitung ist

Die Jacobi-Matrix zu ist

und die Jacobi-Matrix zu ist

Daher ist die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt gleich

Das zu bildende Matrixprodukt dieser beiden Matrizen ist

Dies stimmt natürlich mit der direkt bestimmten Ableitung überein.


 

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