Kurs:Riemannsche Flächen/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	10	4	2	6	4	5	4	5	4	2	4	4	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Decktransformation zu einer Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$.
2. Ein Gitter in den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$.
3. Eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$.
4. Eine holomorphe Differentialform ${}\omega$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$.
5. Der Hauptdivisor zu einer meromorphen Funktion ${}f\neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$.
6. Die Jacobische Varietät zu einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche ${}X$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Verzweigungsverhalten bei endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen.
2. Der Residuensatz.
3. Der Satz von Abel-Jacobi.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (4 Punkte)

Inwiefern ist eine riemannsche Fläche ein eindimensionales, inwiefern ein zweidimensionales Objekt?

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten die holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+z.$

Für welche Punkte ${}P\in {\mathbb {C} }$ ist die Tangentialabbildung

$T_{P}{\mathbb {C} }\longrightarrow T_{\varphi (P)}{\mathbb {C} }$

bijektiv?

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass

${}V_{+}{\left(X^{5}+XY^{4}+XYZ^{3}+YZ^{4}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

eine kompakte riemannsche Fläche definiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}P=z^{2}+z+1\in {\mathbb {C} }[Z]$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass ${}\varphi \colon \varphi ^{-1}(U)\rightarrow U$ eine Überlagerung ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf ${}\mathbb {R}$ kein Hausdorffraum ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega =df$ eine exakte Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}M$. Zeige, dass für das Wegintegral die Beziehung

${}\int _{\gamma }\omega =f(\gamma (b))-f(\gamma (a))\,$

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme für die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in ${}1$ den Hauptteil ${}{\frac {3}{z(z-1)^{2}}}$ und in ${}4$ den Hauptteil ${}-{\frac {1}{z(z-4)}}$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für eine endliche holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen kompakten riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einer meromorphen Differentialform ${}\omega$ auf ${}Y$ mit dem zugehörigen Divisor ${}D=\operatorname {div} {\left(\omega \right)}$ der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}D$ im Allgemeinen nicht der Divisor (und auch nicht die Divisorklasse) zur zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Formuliere den Satz von Riemann-Roch ohne erste Kohomologie.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Es sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ vom Grad ${}4$ und sei ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ die zugehörige invertierbare Garbe auf ${}X$.

1. Zeige, dass ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$ die Dimension ${}4$ besitzt.
2. Es sei ${}x,y,z,w$ eine Basis von ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)\right)}$. Zeige, dass es in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(2D)\right)}$ zumindest zwei linear unabhängige Beziehungen zwischen den Monomen in ${}x,y,z,w$ vom Grad ${}2$ geben muss.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

1. Zeige, dass der Rückzug von holomorphen Differentialformen injektiv ist.
2. Man folgere aus (1), dass für die Geschlechter die Abschätzung

   ${}g(X)\geq g(Y)\,$

   gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine holomorphe Abbildung ${}p\colon X\rightarrow Y$ zwischen kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ in natürlicher Weise einen Homomorphismus

$J(X)\longrightarrow J(Y)$

zwischen den zugehörigen jacobischen Varietäten induziert.