Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 22

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Aufgabe

Sei und . Zeige, dass das maximale Ideal durch ein Element erzeugt wird, dass aber weder in noch in durch ein Element erzeugt wird (und zwar auch nicht als Radikal).


Aufgabe

Es sei eine Blockmatrix der Form

gegeben. Zeige, dass der Rang von gleich der Summe der Ränge von und von ist.


Aufgabe

Skizziere die Diagonale auf dem Torus (in seiner dreidimensionalen Realisierung).


Aufgabe *

Es sei ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

die Diagonalabbildung in das Produkt . Zeige, dass die Diagonale eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Diagonale durch Polynome beschrieben wird.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine affin-algebraische Menge über . Zeige, dass die Diagonale

eine abgeschlossene Einbettung ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, sei eine affin-algebraische Menge über und sei eine Zariski-offene affine Teilmenge. Zeige, dass

ebenfalls eine affine offene Teilmenge ist.


Aufgabe

Es seien und affine Varietäten und

eine durch Polynome gegebene Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung eine abgeschlossene Teilmenge in der Produktvarietät ist.


Die folgenden Aufgabe beschäftigen sich mit der Frage, inwiefern eine Eigenschaft, die „lokal“ im lokalen Ring zu einem Punkt einer Varietät gilt, bereits „global“ in einer (Zariski)-offenen affinen Umgebung des Punktes gilt. Wenn der Koordinantering zu ist, so ist die Nenneraufnahme der Koordinantering zu . Beachte, dass man bei diesem Übergang innerhalb der endlich erzeugten -Algebren bleibt und sich nach Korollar 19.8 auch die Dimension nicht ändert.

Aufgabe

Es sei ein glatter Punkt einer affin-algebraischen Menge . Zeige, dass es eine offene affine Umgebung derart gibt, dass in jedem Punkt glatt ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein multiplikatives System. In der Nenneraufnahme gelte

Zeige, dass es ein und Elemente mit

gibt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein -Modul und ein multiplikatives System. Der -Modul werde durch Elemente erzeugt. Zeige, dass es dann ein derart gibt, dass auch der -Modul durch Elemente erzeugt wird.


Aufgabe

Es sei der lokale Ring zu einer affinen Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Beweise Satz 18.8 mit Hilfe von Korollar 22.10. Welche Verschärfung gilt dabei für die Parameter?



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