Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 23

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Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass der -Modul flach ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige, dass der -Modul flach ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein flacher -Modul. Es sei eine -Algebra. Zeige, dass ein flacher -Modul ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Zeige, dass genau dann ein projektiver Modul, wenn es einen weiteren Modul derart gibt, dass die direkte Summe frei ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und der Produktring. Zeige, dass jeder -Modul projektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen artinschen Ring und einen endlich erzeugten -Modul , der nicht projektiv ist.


Aufgabe

Zeige, dass es zu dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

keinen Gruppenhomomorphismus

mit gibt. Folgere, dass der -Modul nicht projektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein projektiver -Modul. Es sei ein multiplikatives System. Zeige, dass ein projektiver -Modul ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein projektiver -Modul. Es sei eine -Algebra. Zeige, dass ein projektiver -Modul ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein endlich erzeugter -Modul. Zeige, dass genau dann lokal frei ist, wenn es Elemente mit

derart gibt, dass die frei sind.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass der -Modul der Kählerdifferentiale

eingeschränkt auf die offenen Mengen (also etc.) frei ist und dass damit lokal frei ist.


Aufgabe

Es sei ein lokaler noetherscher Ring, ein endlich erzeugter -Modul und

eine minimale freie Auflösung von . Zeige, dass der Rang von gleich der -Dimension von mit ist.


Aufgabe

Sei ein lokaler Ring und sei mit einem Ideal . Zeige, dass dann für jedes Ideal die natürliche Abbildung

nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Wir betrachten den Restklassenhomomorphismus

Zeige, dass für jede Primzahl die induzierte Abbildung

surjektiv ist.


Aufgabe

Sei ein lokaler Ring und sei ein endlich erzeugter -Modul. Es sei

ein surjektiver -Modulhomomorphismus mit einem freien Modul , wobei eine Basis auf ein minimales Erzeugendensystem abgebildet werde. Zeige, dass die Einschränkung von auf einen echten Untermodul nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich und , . Bestimme die minimale freie Auflösung des -Moduls .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und eine Matrix über , die eine injektive lineare Abbildung

definiere. Zeige, dass die projektive Dimension des Kokerns ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei mit . Zeige, dass der -Modul der Kählerdifferentiale eine endliche freie Auflösung besitzt.

Tipp: Siehe Bemerkung 12.9.

Aufgabe

Es beschreibe eine zweidimensionale ADE-Singularität. Zeige, dass es im maximalen Ideal jeweils zwei Elemente derart gibt, dass der Restklassenring eine endliche freie Auflösung ähnlich zu Beispiel 23.17 besitzt.


Aufgabe

Es sei eine zweidimensionale ADE-Singularität. Beschreibe (den Anfang) die minimale freie Auflösung des Restklassenkörpers.


Aufgabe

Es sei ein dreidimensionaler lokaler regulärer Ring. Konstruiere eine endliche freie Auflösung des Restklassenkörpers ähnlich zu Beispiel 23.17.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, ein -Modul und

eine endliche freie Auflösung. Zeige, dass sämtliche Kerne zu eine endliche freie Auflösung besitzen.



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