Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 23
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass der - Modul flach ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige, dass der - Modul flach ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und ein flacher - Modul. Es sei eine - Algebra. Zeige, dass ein flacher -Modul ist.
Aufgabe *
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Zeige, dass genau dann ein projektiver Modul, wenn es einen weiteren Modul derart gibt, dass die direkte Summe frei ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper und der Produktring. Zeige, dass jeder - Modul projektiv ist.
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel für einen artinschen Ring und einen endlich erzeugten - Modul , der nicht projektiv ist.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und ein projektiver - Modul. Es sei ein multiplikatives System. Zeige, dass ein projektiver -Modul ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und ein projektiver - Modul. Es sei eine - Algebra. Zeige, dass ein projektiver -Modul ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und ein endlich erzeugter - Modul. Zeige, dass genau dann lokal frei ist, wenn es Elemente mit
derart gibt, dass die frei sind.
Aufgabe
Sei . Zeige, dass der - Modul der Kählerdifferentiale
eingeschränkt auf die offenen Mengen (also etc.) frei ist und dass damit lokal frei ist.
Aufgabe
Es sei ein lokaler noetherscher Ring, ein endlich erzeugter - Modul und
eine minimale freie Auflösung von . Zeige, dass der Rang von gleich der - Dimension von mit ist.
Aufgabe
Es sei ein lokaler Ring und sei mit einem Ideal . Zeige, dass dann für jedes Ideal die natürliche Abbildung
nicht surjektiv ist.
Aufgabe
Wir betrachten den Restklassenhomomorphismus
Zeige, dass für jede Primzahl die induzierte Abbildung
surjektiv ist.
Aufgabe
Es sei ein lokaler Ring und sei ein endlich erzeugter - Modul. Es sei
ein surjektiver - Modulhomomorphismus mit einem freien Modul , wobei eine Basis auf ein minimales Erzeugendensystem abgebildet werde. Zeige, dass die Einschränkung von auf einen echten Untermodul nicht surjektiv ist.
Aufgabe
Es sei ein Integritätsbereich und , . Bestimme die minimale freie Auflösung des - Moduls .
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und eine Matrix über , die eine injektive lineare Abbildung
definiere. Zeige, dass die projektive Dimension des Kokerns ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei mit . Zeige, dass der - Modul der Kählerdifferentiale eine endliche freie Auflösung besitzt.
Tipp: Siehe Bemerkung 12.9.
Aufgabe
Es beschreibe eine zweidimensionale ADE-Singularität. Zeige, dass es im maximalen Ideal jeweils zwei Elemente derart gibt, dass der Restklassenring eine endliche freie Auflösung ähnlich zu Beispiel 23.17 besitzt.
Aufgabe
Es sei eine zweidimensionale ADE-Singularität. Beschreibe (den Anfang) die minimale freie Auflösung des Restklassenkörpers.
Aufgabe
Es sei ein dreidimensionaler lokaler regulärer Ring. Konstruiere eine endliche freie Auflösung des Restklassenkörpers ähnlich zu Beispiel 23.17.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring, ein - Modul und
eine endliche freie Auflösung. Zeige, dass sämtliche Kerne zu eine endliche freie Auflösung besitzen.
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