Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 23

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass der ${}R$- Modul ${}R^{n}$ flach ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass der ${}R$- Modul ${}R_{S}$ flach ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein flacher ${}R$- Modul. Es sei ${}S$ eine ${}R$- Algebra. Zeige, dass ${}M\otimes _{R}S$ ein flacher ${}S$-Modul ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige, dass ${}M$ genau dann ein projektiver Modul, wenn es einen weiteren Modul ${}N$ derart gibt, dass die direkte Summe ${}M\oplus N$ frei ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}R=K^{n}$  der Produktring. Zeige, dass jeder ${}R$- Modul ${}M$ projektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen artinschen Ring und einen endlich erzeugten ${}R$- Modul ${}M$, der nicht projektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass es zu dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

$p\colon \mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} _{+})}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,e_{n}\longmapsto {\frac {1}{n}},$

keinen Gruppenhomomorphismus

$i\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} _{+})}$

mit  ${}p\circ i=\operatorname {Id} _{\mathbb {Q} }$  gibt. Folgere, dass der ${}\mathbb {Z}$- Modul ${}\mathbb {Q}$ nicht projektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein projektiver ${}R$- Modul. Es sei  ${}T\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass ${}M_{T}$ ein projektiver ${}R_{T}$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein projektiver ${}R$- Modul. Es sei ${}S$ eine ${}R$- Algebra. Zeige, dass ${}M\otimes _{R}S$ ein projektiver ${}S$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Zeige, dass ${}M$ genau dann lokal frei ist, wenn es Elemente  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$  mit

${}{\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}=R\,$

derart gibt, dass die ${}M_{f_{i}}$ frei sind.

Aufgabe

Sei  ${}R=\mathbb {R} [X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right)}$.  Zeige, dass der ${}R$- Modul der Kählerdifferentiale

${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }=RdX\oplus RdY\oplus RdZ/(XdX+YdY+ZdZ)\,$

eingeschränkt auf die offenen Mengen ${}D(X),\,D(Y),\,D(Z)$ (also ${}{\left(\Omega _{R{|}\mathbb {R} }\right)}_{X}=\Omega _{R_{X}{|}\mathbb {R} }$ etc.) frei ist und dass damit ${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }$ lokal frei ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein lokaler noetherscher Ring, ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul und

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eine minimale freie Auflösung von ${}M$. Zeige, dass der Rang von ${}F_{i}$ gleich der ${}R/{\mathfrak {m}}$- Dimension von ${}M_{i}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ mit  ${}M_{i}=\operatorname {kern} \left(\theta _{i-1}\right)$  ist.

Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei  ${}M=R/{\mathfrak {b}}$  mit einem Ideal  ${}{\mathfrak {b}}\neq (1)$.  Zeige, dass dann für jedes Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\neq (1)$  die natürliche Abbildung

${\mathfrak {a}}\longrightarrow R/{\mathfrak {b}}$

nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Wir betrachten den Restklassenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(2).$

Zeige, dass für jede Primzahl  ${}p\neq 2$  die induzierte Abbildung

$(p)\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)$

surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei

$\varphi \colon F\longrightarrow M$

ein surjektiver ${}R$- Modulhomomorphismus mit einem freien Modul ${}F$, wobei eine Basis auf ein minimales Erzeugendensystem abgebildet werde. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf einen echten Untermodul  ${}U\subseteq F$  nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Bestimme die minimale freie Auflösung des ${}R$- Moduls ${}R/(f)$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ eine Matrix über ${}R$, die eine injektive lineare Abbildung

$M\colon R^{m}\longrightarrow R^{n}$

definiere. Zeige, dass die projektive Dimension des Kokerns ${}\leq 1$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$  mit  ${}F\neq 0$.  Zeige, dass der ${}A$- Modul der Kählerdifferentiale ${}\Omega _{A{|}K}$ eine endliche freie Auflösung besitzt.

Tipp: Siehe Bemerkung 12.9.

Aufgabe

Es beschreibe ${}R$ eine zweidimensionale ADE-Singularität. Zeige, dass es im maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ jeweils zwei Elemente ${}f,g$ derart gibt, dass der Restklassenring ${}R/(f,g)$ eine endliche freie Auflösung ähnlich zu Beispiel 23.17 besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine zweidimensionale ADE-Singularität. Beschreibe (den Anfang) die minimale freie Auflösung des Restklassenkörpers.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein dreidimensionaler lokaler regulärer Ring. Konstruiere eine endliche freie Auflösung des Restklassenkörpers ähnlich zu Beispiel 23.17.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$- Modul und

$0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow \ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eine endliche freie Auflösung. Zeige, dass sämtliche Kerne zu ${}d_{i}\colon F_{i+1}\rightarrow F_{i}$ eine endliche freie Auflösung besitzen.