Mittelwertsatz der Differentialrechnung/Textabschnitt
![{\displaystyle f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bda17a8ca7ea71906b37514dd0342131a206a98)
![{\displaystyle {}]a,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270d5e0116fb92c1667fca123c454c114a042fd9)
![{\displaystyle {}c\in {]a,b[}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893bc6fb00faaeb9f8bf828b68e80a64823b1d6d)
![{\displaystyle {}x\in {]a,b[}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d5258fad15c7c5b7180a8778c8e887d86864ef)
![{\displaystyle {}c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e96620a8d7941d7b882a2148f8703b82848ecad)
Der vorstehende Satz heißt Satz von Rolle.
Der folgende Satz heißt Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Er besagt beispielsweise, dass bei einem differenzierbaren eindimensionalen Bewegungsvorgang die Durchschnittsgeschwindigkeit mindestens einmal als Momentangeschwindigkeit auftritt.
Satz
Beweis
Wir betrachten die Hilfsfunktion
![{\displaystyle g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22fb8bc1eb901549e5c282894d7b3877825e6fb)
Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in differenzierbar. Ferner ist und
Daher erfüllt die Voraussetzungen von Fakt und somit gibt es ein mit . Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also
Korollar
![{\displaystyle f\colon {]a,b[}\longrightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcaf3655764f40916a38f2b7b57dd1653da0509)
Beweis
Wenn nicht konstant ist, so gibt es mit . Dann gibt es aufgrund von Fakt ein , , mit , ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Der folgende Satz heißt Monotoniesatz, er stiftet eine Beziehung zwischen dem Wachstumsverhalten der Funktion und der Positivität ihrer Ableitung.
Satz
Es sei ein offenes Intervall und
eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Funktion ist genau dann auf wachsend (bzw. fallend), wenn (bzw. ) für alle ist.
- Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng wachsend.
- Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng fallend.
Beweis
(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn wachsend ist, und ist, so gilt für den Differenzenquotienten
für jedes mit
.
Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für , und dieser ist .
Es sei umgekehrt die Ableitung .
Nehmen wir an, dass es zwei Punkte
in mit
gibt. Aufgrund des
Mittelwertsatzes
gibt es dann ein mit
mit
(2). Es sei nun
mit nur endlich vielen Ausnahmen.
Angenommen es wäre
für zwei Punkte
. Da nach dem ersten Teil wachsend ist, ist auf dem Intervall konstant. Somit ist
auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass nur endlich viele Nullstellen besitzt.
![{\displaystyle {}[x,x']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acf421d83169702fc7a052271ea035d0d599e6e)
Korollar
Eine reelle Polynomfunktion
vom Grad besitzt maximal lokale Extrema, und die reellen Zahlen lassen sich in maximal Intervalle unterteilen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.
Beweis
Korollar
Es sei ein reelles Intervall,
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte . Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn ist, so besitzt in ein isoliertes lokales Minimum.
- Wenn ist, so besitzt in ein isoliertes lokales Maximum.
Beweis
Eine Verallgemeinerung dieser Aussage werden wir in Fakt kennenlernen.