Mittelwertsatz der Differentialrechnung/Textabschnitt

Satz

Es sei  $a<b$  und sei

$f:[a,b]⟶ℝ$

eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion mit  $f(a)=f(b)$. 

Dann gibt es ein  $c\in ]a,b[$  mit

$f^{\prime }(c)=0.$

Beweis

Wenn $f$ konstant ist, so ist die Aussage richtig. Es sei also $f$ nicht konstant. Dann gibt es ein  $x\in ]a,b[$  mit  $f(x)\ne f(a)=f(b)$.  Sagen wir, dass $f(x)$ größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Fakt gibt es ein  $c\in [a,b]$,  wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses $c$ ist dann  $f^{\prime }(c)=0$  nach Fakt.

$◻$

Der vorstehende Satz heißt Satz von Rolle.

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung besagt anschaulich gesprochen, dass es zu einer Sekante eine parallele Tangente gibt.

Der folgende Satz heißt Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Er besagt beispielsweise, dass bei einem differenzierbaren eindimensionalen Bewegungsvorgang die Durchschnittsgeschwindigkeit mindestens einmal als Momentangeschwindigkeit auftritt.

Satz

Es sei  $a<b$  und sei

$f:[a,b]⟶ℝ$

eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion.

Dann gibt es ein  $c\in ]a,b[$  mit

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion

$g:[a,b]⟶ℝ,x⟼g(x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$

Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in $]a,b[$ differenzierbar. Ferner ist  $g(a)=f(a)$  und

$g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a).$

Daher erfüllt $g$ die Voraussetzungen von Fakt und somit gibt es ein  $c\in ]a,b[$  mit  $g^{\prime }(c)=0$.  Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

$◻$

Korollar

Es sei

$f:]a,b[⟶ℝ$

eine differenzierbare Funktion mit  $f^{\prime }(x)=0$  für alle  $x\in ]a,b[$. 

Dann ist $f$ konstant.

Beweis

 Wenn $f$ nicht konstant ist, so gibt es  $x<x^{\prime }$  mit  $f(x)\ne f(x^{\prime })$.  Dann gibt es aufgrund von Fakt ein $c$, $x<c<x^{\prime }$, mit  $f^{\prime }(c)=\frac{f(x^{\prime })-f(x)}{x^{\prime }-x}\ne 0$,  ein Widerspruch zur Voraussetzung.

$◻$

Der folgende Satz heißt Monotoniesatz, er stiftet eine Beziehung zwischen dem Wachstumsverhalten der Funktion und der Positivität ihrer Ableitung.

Satz

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein offenes Intervall und

$f:I⟶ℝ$

eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Funktion $f$ ist genau dann auf $I$ wachsend (bzw. fallend), wenn  $f^{\prime }(x)\ge 0$  (bzw. $f^{\prime }(x)\le 0$) für alle  $x\in I$  ist.
2. Wenn  $f^{\prime }(x)\ge 0$  für alle  $x\in I$  ist und $f^{\prime }$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng wachsend.
3. Wenn  $f^{\prime }(x)\le 0$  für alle  $x\in I$  ist und $f^{\prime }$ nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist $f$ streng fallend.

Beweis

(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn $f$ wachsend ist, und  $x\in I$  ist, so gilt für den Differenzenquotienten

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ge 0$

für jedes $h$ mit  $x+h\in I$.  Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für $h\to 0$, und dieser ist $f^{\prime }(x)$.
Es sei umgekehrt die Ableitung $\ge 0$.    Nehmen wir an, dass es zwei Punkte  $x<x^{\prime }$  in $I$ mit  $f(x)>f(x^{\prime })$  gibt. Aufgrund des Mittelwertsatzes gibt es dann ein $c$ mit  $x<c<x^{\prime }$  mit

$f^{\prime }(c)=\frac{f(x^{\prime })-f(x)}{x^{\prime }-x}<0$

 im Widerspruch zur Voraussetzung.

(2). Es sei nun  $f^{\prime }(x)>0$  mit nur endlich vielen Ausnahmen.  Angenommen es wäre  $f(x)=f(x^{\prime })$  für zwei Punkte  $x<x^{\prime }$.  Da $f$ nach dem ersten Teil wachsend ist, ist $f$ auf dem Intervall $[x,x^{\prime }]$ konstant. Somit ist  $f^{\prime }=0$  auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass $f^{\prime }$ nur endlich viele Nullstellen besitzt.

$◻$

Korollar

Eine reelle Polynomfunktion

$f:ℝ⟶ℝ$

vom Grad  $d\ge 1$  besitzt maximal $d-1$ lokale Extrema, und die reellen Zahlen lassen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen, auf denen abwechselnd $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Korollar

Es sei $I$ ein reelles Intervall,

$f:I⟶ℝ$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und  $a\in I$  ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte  $f^{\prime }(a)=0$.  Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn  $f^{\prime \prime }(a)>0$  ist, so besitzt $f$ in $a$ ein isoliertes lokales Minimum.
2. Wenn  $f^{\prime \prime }(a)<0$  ist, so besitzt $f$ in $a$ ein isoliertes lokales Maximum.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$◻$

Eine Verallgemeinerung dieser Aussage werden wir in Fakt kennenlernen.