Topologischer Raum/Kompakt/Arzela-Ascoli/Textabschnitt

Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum ${}X$ und darauf den ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}C(X,{\mathbb {K} })$ der stetigen Funktionen von ${}X$ nach ${}{\mathbb {K} }$. Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe Fakt für den Fall einer kompakten Teilmenge ${}X\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ und Fakt.

Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge

${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })\,$

kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}Z$ ein metrischer Raum und sei ${}T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,Z\right)}$ eine Menge von Abbildungen von ${}X$ nach ${}Z$. Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig in einem Punkt ${}x\in X$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in U$ und alle ${}f\in T$ gilt

${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon \,.$

Man nennt ${}T$ gleichgradig stetig, wenn ${}T$ gleichgradig stetig in jedem Punkt ${}x\in X$ ist.

Eine einzelne Abbildung ist genau dann gleichgradig stetig in ${}x$, wenn sie stetig in ${}x$ ist. Auch eine Ansammlung von endlich vielen stetigen Funktionen ist automatisch gleichgradig stetig, siehe Aufgabe. Im Allgemeinen geht es darum, ob es für eine gegebene Funktionenmenge und jede vorgegebene Zielgenauigkeit ${}\epsilon >0$ eine Startumgebung gibt, die für alle Funktionen simultan die Zielbedingung sichert. Wenn ${}X$ ein metrischer Raum ist, so wird die Startumgebung durch eine Startgenauigkeit ${}\delta >0$ beschrieben.

Beispiel

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und sei

${}S={\left\{cx+d\mid c,d\in \mathbb {R} \right\}}\,$

die Menge aller affin-linearen Funktionen, aufgefasst als Funktionen auf dem Intervall. Dann ist ${}S$ nicht gleichgradig stetig, da die Beziehung zwischen einer Zielgenauigkeit ${}\epsilon >0$ und einer Aufwandsgenauigkeit ${}\delta >0$ wesentlich von der Steigung ${}c$ der affin-linearen Funktion abhängt. Wenn man hingegen Schranken ${}c_{0}<c_{1}$ fixiert und

${}T={\left\{cx+d\mid c,d\in \mathbb {R} ,\,c_{0}\leq c\leq c_{1}\right\}}\subseteq S\,$

betrachtet, so liegt gleichgradige Stetigkeit vor.

Lemma

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm. Es gelten die beiden Eigenschaften

1. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
2. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

Dann ist ${}T$ total beschränkt.

Beweis

Es sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Wegen der gleichgradigen Stetigkeit gibt es zu jedem ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U_{x}\subseteq X$ mit

${}d{\left(f(x),f(x')\right)}<{\frac {\epsilon }{4}}\,$

für alle ${}x'\in U_{x}$ und alle ${}f\in T$. Wegen der Kompaktheit von ${}X$ gibt es endlich viele Punkte ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit

${}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{x_{i}}\,.$

Es sei

${}M={\left\{f(x_{i})\mid f\in T,\,i=1,\ldots ,n\right\}}=\bigcup _{i=1}^{n}{\left\{f(x_{i})\mid f\in T\right\}}\subseteq {\mathbb {K} }\,.$

Da die einzelnen Auswertungsbilder ${}{\left\{f(x_{i})\mid f\in T\right\}}$ beschränkt sind, ist auch ${}M$ beschränkt und daher gibt es endlich viele Punkte ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ in ${}{\mathbb {K} }$ mit

${}M\subseteq \bigcup _{j=1}^{m}U{\left(z_{j},{\frac {\epsilon }{4}}\right)}\,.$

Zu einem Tupel ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in \{1,\ldots ,m\}^{n}$ definieren wir

$T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}={\left\{f\in T\mid f(x_{i})\in U{\left(z_{j_{i}},{\frac {\epsilon }{4}}\right)}{\text{ für }}i=1,\ldots ,n\right\}}\,.$

Es ist

${}T=\bigcup _{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\,.$

Für ${}f,g\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$ und ${}x\in X$ gibt es ein ${}i$ mit ${}x\in U_{x_{i}}$ und somit ist

${}{\begin{aligned}d{\left(f(x),g(x)\right)}&\leq d{\left(f(x),f(x_{i})\right)}+d{\left(f(x_{i}),g(x_{i})\right)}+d{\left(g(x_{i}),g(x)\right)}\\&<d{\left(f(x),f(x_{i})\right)}+d{\left(f(x_{i}),z_{j_{i}}\right)}+d{\left(z_{j_{i}},g(x_{i})\right)}+d{\left(g(x_{i}),g(x)\right)}\\&\leq 4{\frac {\epsilon }{4}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Also ist

${}T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\subseteq U{\left(f,\epsilon \right)}\,$

für jedes ${}f\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$. Wir wählen zu jedem Tupel ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$ eine Funktion ${}f_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in T_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$. Dann wird ${}T$ von den endlich vielen offenen Bällen ${}U{\left(f_{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)},\epsilon \right)}$ überdeckt.

$\Box$

In Beispiel sind die Auswertungsbilder nicht beschränkt, da ${}d$ in ganz ${}\mathbb {R}$ variieren kann. Wenn man das Intervall kompakt wählt und sowohl für ${}c$ als auch für ${}d$ einem beschränkten Bereich feslegt, so erhält man mit Fakt eine total beschränkte Menge an affin-linearen Funktionen. Der folgende Satz heißt Satz von Arzelà-Ascoli.

Satz

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$, versehen mit der Maximumsnorm.

Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}T$ ist abgeschlossen.
2. ${}T$ ist gleichgradig stetig.
3. Für jeden Punkt ${}x\in X$ ist das Auswertungsbild ${}{\left\{f(x)\mid f\in T\right\}}$ beschränkt.

Beweis

Es sei zuerst ${}T$ kompakt. Die Eigenschaft (1) folgt aus Fakt. Die Eigenschaft (3) folgt wegen der Stetigkeit der Auswertung (siehe Aufgabe)

$C(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$

aus Fakt und aus Fakt. Zum Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit sei ein Punkt ${}x\in X$ und ein ${}\epsilon >0$ fixiert. Aufgrund der totalen Beschränktheit von ${}T$ gemäß Fakt gibt es endlich viele Funktionen ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in T$ derart, dass

${}T\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U{\left(f_{i},{\frac {\epsilon }{3}}\right)}\,$

ist. Für diese endlich vielen Funktionen ${}f_{i}$ finden wir eine gemeinsame offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ mit

${}d{\left(f_{i}(x),f_{i}(x')\right)}\leq {\frac {\epsilon }{3}}\,$

für alle ${}x'\in U$ und alle ${}i=1,\ldots ,n$. Für ein beliebiges ${}f\in T$ ist ${}f\in U{\left(f_{i},{\frac {\epsilon }{3}}\right)}$ für ein ${}i$ und daher ist (für ${}x'\in U$)

${}{\begin{aligned}d{\left(f(x),f(x')\right)}&\leq d{\left(f(x),f_{i}(x)\right)}+d{\left(f_{i}(x),f_{i}(x')\right)}+d{\left(f_{i}(x'),f(x')\right)}\\&\leq {\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Es seien nun umgekehrt die drei Bedingungen erfüllt, wir zeigen die Kompaktheit gemäß Fakt. Nach Aufgabe ist wegen der Abgeschlossenheit von ${}T$ in ${}C(X,{\mathbb {K} })$ auch ${}T$ vollständig und nach Fakt ist ${}T$ total beschränkt.

$\Box$