Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 6

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Wir geben einen weiteren Beweis für den Endlichkeitssatz unter der Voraussetzung, dass der Invariantenring ein direkter Summand ist.



Lemma  

Es sei eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring als Gruppe von homogenen Ringautomorphismen operiere. Es sei das von allen homogenen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in und es sei ein homogenes Idealerzeugendensystem dieses Ideals. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann bilden die ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes, d.h. es ist

Beweis  

Aufgrund der Homogenität der Operation ist der Invariantenring selbst positiv graduiert. Wir beweisen die Inklusion

durch Induktion über den Grad. Wir betrachten also ein homogenes Element von positivem Grad. Wegen kann man

mit homogenen Elementen von einem Grad schreiben. Der Reynolds-Operator

angewendet auf diese Gleichung, liefert

Dabei ist der Grad der gleich dem Grad der und somit kleiner als der Grad von und sie gehören zum Invariantenring, so dass die nach Induktionsvoraussetzung in der von den erzeugten Algebra liegen.




Korollar  

Es sei eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring als Gruppe von homogenen -Algebraautomorphismen operiere. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte -Algebra.

Beweis  

Es sei das von allen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in . Aufgrund des Hilbertschen Basissatzes besitzt ein endliches Idealerzeugendensystem. Daher folgt die Aussage aus Fakt.


Wir kommen zum Beweis der Hinrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd, d.h. wir zeigen, dass eine Spiegelungsgruppe einen Polynomring als Invariantenring besitzt.




Wir wenden uns nun der Rückrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd zu. Zuerst erinnern wir an die Laurent-Entwicklung. Eine rationale Funktion besitzt eine Laurent-Entwicklung

wobei eine eventuell negative Zahl ist. Ist und minimal und negativ, so heißt die Polstellenordnung ( hat einen Pol der Ordnung ).



Lemma  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Es sei eine endliche Untergruppe und sei die Anzahl der Pseudoreflektionen in .

Dann ist die Laurent-Entwicklung der Hilbert-Reihe des Invariantenringes um gleich

Beweis  

Nach der Molien-Formel ist

Die Summanden haben die Gestalt

wobei die die Eigenwerte (mit Wiederholungen) von seien. Für hat der entsprechende Summand in einen Pol der Ordnung . Für haben die Summanden an einen Pol von maximaler Ordnung . Diese Maximalität tritt genau dann ein, wenn der Eigenwert die Vielfachheit besitzt, wenn also eine Pseudoreflektion ist. In diesem Fall ist

da bei einer Pseudoreflektion der andere Eigenwert gleich der Determinante ist. Daher ist der Koeffizient zu in der Laurent-Entwicklung gleich

(im hinteren Faktor wird gesetzt). Das Inverse einer Pseudoreflektion ist ebenfalls eine Pseudoreflektion, daher ist




Korollar  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Es sei eine endliche Gruppe derart, dass der zugehörige Invariantenring von algebraisch unabhängigen homogenen Invarianten erzeugt werde. Es sei und die Anzahl der Pseudoreflektionen in .

Dann ist

Beweis  

Nach Fakt ist

Wegen ist dies gleich

Der Bruch hat um die Potenzreihenentwicklung

was sich durch Einsetzen und Ableiten ergibt. Die Laurent-Entwicklung um ergibt sich durch Einsetzen zu

Der Vergleich mit Fakt ergibt die Behauptung.


Wir beweisen nun die Rückrichtung des Satzes von Chevalley-Sheppard-Todd.