Kurs:Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 6

Wir geben einen weiteren Beweis für den Endlichkeitssatz unter der Voraussetzung, dass der Invariantenring ein direkter Summand ist.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$ als Gruppe von homogenen Ringautomorphismen operiere. Es sei $I_G$ das von allen homogenen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in $K[X_1,\dots ,X_n]$ und es sei $f_1,\dots ,f_m$ ein homogenes Idealerzeugendensystem dieses Ideals. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann bilden die $f_1,\dots ,f_m$ ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes, d.h. es ist

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^G=K[f_1,\dots ,f_m].$

Beweis

Aufgrund der Homogenität der Operation ist der Invariantenring selbst positiv graduiert. Wir beweisen die Inklusion

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^G\subseteq K[f_1,\dots ,f_m]$

durch Induktion über den Grad. Wir betrachten also ein homogenes Element  $f\in K[X_1,\dots ,X_n{]}^G$  von positivem Grad. Wegen  $f\in I_G$  kann man

$f=\sum _{j=1}^m{h}_j{f}_j$

mit homogenen Elementen $h_j$ von einem Grad $<\mathrm{grad}(f)$ schreiben. Der Reynolds-Operator

$\rho :K[X_1,\dots ,X_n]⟶K[X_1,\dots ,X_n{]}^G,$

angewendet auf diese Gleichung, liefert

$f=\rho (f)=\rho \left(\sum _{j=1}^m{h}_j{f}_j\right)=\sum _{j=1}^m\rho \left(h_j\right)f_j.$

Dabei ist der Grad von $\rho (h_j)$ gleich dem Grad von $h_j$ und somit kleiner als der Grad von $f$ und sie gehören zum Invariantenring, sodass die $\rho (h_j)$ nach Induktionsvoraussetzung in der von den $f_j$ erzeugten Algebra liegen.

$◻$

Korollar

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$ als Gruppe von homogenen $K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte $K$-Algebra.

Beweis

Es sei $I_G$ das von allen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in $K[X_1,\dots ,X_n]$. Aufgrund des Hilbertschen Basissatzes besitzt $I_G$ ein endliches Idealerzeugendensystem. Daher folgt die Aussage aus Fakt *****.

$◻$

Wir kommen zum Beweis der Hinrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd, d.h. wir zeigen, dass eine Spiegelungsgruppe einen Polynomring als Invariantenring besitzt.

Beweis

Chevalley-Shephard-Todd/Spiegelungsgruppe/Polynomring/Fakt Beweis

$◻$

Wir wenden uns nun der Rückrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd zu. Zuerst erinnern wir an die Laurent-Entwicklung. Eine rationale Funktion besitzt eine Laurent-Entwicklung

$Q(z)=\frac{F(z)}{G(z)}=\sum _{i=k}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{z}^i,$

wobei $k$ eine eventuell negative Zahl ist. Ist $a_k\ne 0$ und $k$ minimal und negativ, so heißt $-k$ die Polstellenordnung ($\frac{1}{z^k}$ hat einen Pol der Ordnung $k$).

Lemma

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Es sei  $G\subseteq {\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$  eine endliche Untergruppe und sei $r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in $G$.

Dann ist die Laurent-Entwicklung der Hilbert-Reihe des Invariantenringes um  $z=1$  gleich

${\mathrm{\Phi }}_G(z)=\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}(1-z{)}^{-n}+\frac{r}{2\mathrm{\#}\left(G\right)}(1-z{)}^{-n+1}+\dots .$

Beweis

Nach der Molien-Formel ist

${\mathrm{\Phi }}_G(z)=\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}\frac{1}{det(\mathrm{Id}-z\sigma )}.$

Die Summanden haben die Gestalt

$\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\cdot \frac{1}{det(\mathrm{Id}-z\sigma )}=\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\cdot \frac{1}{(1-z{\xi }_{\sigma ,1})}\cdots \frac{1}{(1-z{\xi }_{\sigma ,n})},$

wobei die ${\xi }_{\sigma ,j}$ die Eigenwerte (mit Wiederholungen) von $\sigma$ seien. Für  $\sigma =\mathrm{Id}$  hat der entsprechende Summand in  $z=1$  einen Pol der Ordnung $n$. Für  $\sigma \ne \mathrm{Id}$  haben die Summanden an  $z=1$  einen Pol von maximaler Ordnung $n-1$. Diese Maximalität tritt genau dann ein, wenn der Eigenwert $1$ die Vielfachheit $n-1$ besitzt, wenn also $\sigma$ eine Pseudoreflektion ist. In diesem Fall ist

$\frac{1}{det(\mathrm{Id}-z\sigma )}=\frac{1}{(1-z{)}^{n-1}}\cdot \frac{1}{(1-zdet\sigma )},$

da bei einer Pseudoreflektion der andere Eigenwert gleich der Determinante ist. Daher ist der Koeffizient zu $(1-z{)}^{-n+1}$ in der Laurent-Entwicklung gleich

$\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \text{ Pseudoreflektion}}\frac{1}{1-det\sigma }$

(im hinteren Faktor wird $z=1$ gesetzt). Das Inverse einer Pseudoreflektion ist ebenfalls eine Pseudoreflektion, daher ist

$\begin{array}{cc}2\sum _{\sigma \text{ Pseudoreflektion}}\frac{1}{1-det\sigma }& =\sum _{\sigma \text{ Pseudoreflektion}}(\frac{1}{1-det\sigma }+\frac{1}{1-{(det\sigma )}^{-1}})\\ & =\sum _{\sigma \text{ Pseudoreflektion}}1\\ & =r.\end{array}$

$◻$

Korollar

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Es sei  $G\subseteq {\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$  eine endliche Gruppe derart, dass der zugehörige Invariantenring von $n$ algebraisch unabhängigen homogenen Invarianten ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_n$ erzeugt werde. Es sei  $d_i=\mathrm{grad}({\theta }_i)$  und $r$ die Anzahl der Pseudoreflektionen in $G$.

Dann ist

$|G|=d_1\cdots d_n\text{ und }r=d_1+\cdots +d_n-n.$

Beweis

Nach Fakt ***** ist

${\mathrm{\Phi }}_G(z)=\frac{1}{(1-z^{d_1})}\cdots \frac{1}{(1-z^{d_n})}.$

Wegen  $1-z^d=(1-z)(1+z+\cdots +z^{d-1})$  ist dies gleich

$\frac{1}{(1-z{)}^n}\cdot \frac{1}{1+z+\cdots +z^{d_1-1}}\cdots \frac{1}{1+z+\dots +z^{d_n-1}}.$

Der Bruch $\frac{1}{1+z+\dots +z^{d-1}}$ hat um  $z=1$  die Potenzreihenentwicklung

$\frac{1}{d}-\frac{d-1}{2d}(z-1)+\dots ,$

was sich durch Einsetzen und Ableiten ergibt. Die Laurent-Entwicklung um  $z=1$  ist somit

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_G(z)& =\frac{1}{(1-z{)}^n}(\frac{1}{d_1}-\frac{d_1-1}{2d_1}(z-1)+\dots )\cdots (\frac{1}{d_n}-\frac{d_n-1}{2d_n}(z-1)+\dots )\\ & =\frac{1}{d_1\cdots d_n}(1-z{)}^{-n}+\frac{d_1+\cdots +d_n-n}{2d_1\cdots d_n}(1-z{)}^{-n+1}+\dots .\end{array}$

Der Vergleich mit Fakt ***** ergibt die Behauptung.

$◻$

Wir beweisen nun die Rückrichtung des Satzes von Chevalley-Sheppard-Todd.

Beweis

Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Fakt Beweis

$◻$